Calcule os limites
lim (x, y) (0,0) e^x^3-1y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com limites em duas variáveis, e , e vamos precisar entender um pouco sobre comportamento de funções exponenciais e limites multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e^x^3 approx 1 + x^3 + x^62 + dots . Sabemos que para valores próximos de zero, podemos expandir a exponencial usando a série de Taylor:
e^x^3 - 1 approx x^3
Então,
lim (x, y) (0,0) x^3y^3
Isso simplifica nosso limite para:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme se aproxima de . O resultado desse limite pode depender do caminho pelo qual nos aproximamos de .

Passo 4

Vamos considerar diferentes caminhos:
  • Caminho 1: x^3x^3 = 1 . Substituindo, temos:
x^3(x^2)^3 = x^3x^6 = 1x^3
Então, o limite nesse caminho é 1.
  • Caminho 2: . Substituindo:
À medida que , .

Passo 5

Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido (um limite finito e outro tendendo ao infinito), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe porque o resultado depende do caminho pelo qual se aproxima de .

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