Calcule os limites
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos lidando com limites em duas variáveis,
e
, e vamos precisar entender um pouco sobre comportamento de funções exponenciais e limites multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Sabemos que para valores próximos de zero, podemos expandir a exponencial usando a série de Taylor:
Então,
Isso simplifica nosso limite para:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração
conforme
se aproxima de
. O resultado desse limite pode depender do caminho pelo qual nos aproximamos de
.
Passo 4
Vamos considerar diferentes caminhos:
- Caminho 1:
. Substituindo, temos:
Então, o limite nesse caminho é 1.
- Caminho 2:
. Substituindo:
À medida que
,
.
Passo 5
Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido (um limite finito e outro tendendo ao infinito), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite
não existe porque o resultado depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.