A expressão é o n-ésimo termo an de uma sequência an. Ache os quatro primeiros termos e lim n infty an, se existir.
(-1)^n+11 3 nn^2+4 n+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular os quatro primeiros termos da sequência
an = (-1)^n+113nn^2+4n+5
e também determinar limntoinftyan. Vamos usar propriedades de potências de -1 para o sinal e limites de funções racionais.

Passo 2

Para encontrar a1,a2,a3,a4, note que (-1)^n+11 vale +1 quando o expoente é par e -1 quando o expoente é ímpar. Calculamos:
Para n=1:
(-1)^1+11=(-1)^12=1, 3cdot11^2+4cdot1+5=310
Logo a1=310.
Para n=2:
(-1)^2+11=(-1)^13=-1, 3cdot22^2+4cdot2+5=617
Logo a2=-617.
Para n=3:
(-1)^3+11=(-1)^14=1, 3cdot33^2+4cdot3+5=926
Logo a3=926.
Para n=4:
(-1)^4+11=(-1)^15=-1, 3cdot44^2+4cdot4+5=1237
Logo a4=-1237.

Passo 3

Para o limite, observamos que a função racional 3nn^2+4n+5 tem grau do numerador (1) menor que o do denominador (2). Assim,
limntoinfty3nn^2+4n+5=0
Como (-1)^n+11 é sempre +1 ou -1 (tendo módulo 1), o produto tende a zero por o fator racional ir a zero. Portanto limntoinftyan=0.

Resposta

Os quatro primeiros termos são a1=tfrac310, a2=-tfrac617, a3=tfrac926, a4=-tfrac1237. O limite é limntoinftyan=0.

Exercícios relacionados