Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty nln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=1^infty nln(n+1) usando o teste do termo geral (teste da divergência). Esse teste verifica se limntoinfty anneq0; se for diferente de zero, a série diverge.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral an=nln(n+1). Temos:
limntoinfty nln(n+1)

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital (forma infty/infty), derivamos numerador e denominador:
limntoinfty 1tfrac1n+1 = limntoinfty (n+1) = infty

Passo 4

Como limntoinfty an = infty, o termo geral não tende a zero, então pelo teste do termo geral a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste do termo geral, pois limntoinfty nln(n+1) neq 0.

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