Calcule os limites.
lim (x, y) (0,0) x^3 y-yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis: queremos estudar
lim(x,y)to(0,0)x^3y - yx^2 + y^2
Conteúdo: limites em R^2 e teste de caminhos para verificar existência do limite.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador para simplificar a expressão. Observamos que
x^3y - y = y,(x^3 - 1)
logo a função fica
x^3y - yx^2 + y^2 = y,(x^3 - 1)x^2 + y^2
Para existir o limite, o valor deve ser o mesmo por qualquer caminho.

Passo 3

Escolhemos o caminho x=0. Substituindo em f(x,y) temos
f(0,y) = 0^3,y - y0^2 + y^2 = -yy^2 = -1y
Quando yto0^+, -1/yto -infty e quando yto0^-, -1/yto +infty. Como os valores não coincidem (e divergem em módulos diferentes), o limite não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge para infinito em diferentes sinais).

Exercícios relacionados