Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de máximo, mínimo local e pontos de sela da função $ f(x, y) = 3y^{2} - 2y^{3} - 3x^{2} + 6xy $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero — esses são os nossos candidatos a pontos críticos.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Simplificando a primeira equação:
Passo 4
Substituímos $ x = y $ na segunda equação para encontrar os valores de $ y $.
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são:
- Quando $ y = 0 $, $ x = 0 $ → ponto $ (0, 0) $
- Quando $ y = 2 $, $ x = 2 $ → ponto $ (2, 2) $
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (2, 2) $, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas:
Passo 6
Calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico, onde:
Para o ponto (0, 0):
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Para o ponto (2, 2):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (2, 2) $ é um ponto de máximo local.
Resposta
A função $ f(x, y) = 3y^{2} - 2y^{3} - 3x^{2} + 6xy $ possui:
- Ponto de sela em $ (0, 0) $
- Ponto de máximo local em $ (2, 2) $