Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela da função.
f(x, y)=3 y^2-2 y^3-3 x^2+6 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos de máximo, mínimo local e pontos de sela da função $ f(x, y) = 3y^{2} - 2y^{3} - 3x^{2} + 6xy $. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero — esses são os nossos candidatos a pontos críticos.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
fx = 0 Rightarrow -6x + 6y = 0
fy = 0 Rightarrow 6y - 6y^2 + 6x = 0
Simplificando a primeira equação:
-6x + 6y = 0 Rightarrow x = y

Passo 4

Substituímos $ x = y $ na segunda equação para encontrar os valores de $ y $.
x = y
y
6y - 6y^2 + 6y = 0
Isso nos dá duas soluções:
12y - 6y^2 = 0
6y(2 - y) = 0
Então, os pontos críticos são:
  • Quando $ y = 0 $, $ x = 0 $ → ponto $ (0, 0) $
  • Quando $ y = 2 $, $ x = 2 $ → ponto $ (2, 2) $

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos $ (0, 0) $ e $ (2, 2) $, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas:
(0, 0)
(2, 2)
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -6

Passo 6

Calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico, onde:
D
Para o ponto (0, 0):
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
fyy = 6 - 12(0) = 6
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Para o ponto (2, 2):
D = (-6) cdot 6 - (6)^2 = -36 - 36 = -72
D < 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (2, 2) $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A função $ f(x, y) = 3y^{2} - 2y^{3} - 3x^{2} + 6xy $ possui:
  • Ponto de sela em $ (0, 0) $
  • Ponto de máximo local em $ (2, 2) $

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