Usando o método da variação dos parâmetros juntamente com o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução para
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial
no intervalo
, usando método dos coeficientes indeterminados para a parte polinomial e variação de parâmetros para a parte
. Vamos precisar do conhecimento de solução geral da homogênea, tentativa polinomial e fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
. As raízes do polinômio auxiliar
são
. Logo uma base de soluções é
e
. Assim
Passo 3
Agora isolamos a parte polinomial da forçante,
, e fazemos uma tentativa do tipo
. Calculamos
que deve ser igual a
Passo 4
Para a parte
usamos variação de parâmetros. Com
,
e força
, o wronskiano é
. As fórmulas dão
Passo 5
Calculamos as integrais:
Passo 6
Substituindo em variação de parâmetros e simplificando, os termos
se cancelam, restando
Passo 7
Por fim, somamos tudo para obter a solução geral da equação não homogênea:
$$y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x).
$$