Usando o método da variação dos parâmetros juntamente com o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução para
y^prime prime+y=tg(x)+3 x-1, x in(-pi / 2, pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial y'' + y = tan(x) + 3x - 1 no intervalo (-pi/2,pi/2), usando método dos coeficientes indeterminados para a parte polinomial e variação de parâmetros para a parte tan(x). Vamos precisar do conhecimento de solução geral da homogênea, tentativa polinomial e fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea y'' + y = 0. As raízes do polinômio auxiliar r^2 + 1 = 0 são r = pm i. Logo uma base de soluções é y1 = cos x e y2 = sin x. Assim
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Agora isolamos a parte polinomial da forçante, 3x - 1, e fazemos uma tentativa do tipo yp1(x)=ax+b. Calculamos
yp1'' + yp1 = 0 + (ax+b) = ax + b,
que deve ser igual a 3x - 1. Comparando coeficientes, obtemos a=3 e b=-1. Logo
yp1(x)=3x-1

Passo 4

Para a parte tan(x) usamos variação de parâmetros. Com y1=cos x, y2=sin x e força g(x)=tan(x), o wronskiano é W=1. As fórmulas dão
yp2(x)=-y1(x)integral y2(x)g(x),dx + y2(x)integral y1(x)g(x),dx

Passo 5

Calculamos as integrais:
integral sin x,tan x,dx = integral sin^2 xcos x,dx = integral (sec x - cos x),dx = ln|sec x + tan x| - sin x,
integral cos x,tan x,dx = integral sin x,dx = -cos x

Passo 6

Substituindo em variação de parâmetros e simplificando, os termos cos xsin x se cancelam, restando
yp2(x) = -cos x,ln(sec x + tan x)

Passo 7

Por fim, somamos tudo para obter a solução geral da equação não homogênea:
$$y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x).
$$

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x + 3x - 1 - cos x,ln(sec x + tan x), em (-pi/2,pi/2).

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