(Valor: 3,00 pontos) Considere o campo elétrico
E(x, y, z)=14 pi varepsilon0 Q(raizx^2+y^2+z^2)^3(x x+y y+z z)
Nessas condições,
(a) Calcule o divergente nabla cdot E(x, y, z) nos pontos (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), respectivamente.
(b) O campo elétrico E(x, y, z) lembra alguma das configurações de carga(s) elétrica(s) que discutimos em sala de aula? Explique detalhadamente seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado diz que temos um campo elétrico
E(x,y,z)=14pivarepsilon0,Ql(raizx^2+y^2+z^2r)^3,(x,hat x+y,hat y+z,hat z)
e pede:
(a) Calcular o divergente nablacdotvec E = partial Expartial x+partial Eypartial y+partial Ezpartial z, nos pontos , e .
(b) Dizer de que configuração de carga esse campo lembra.
Conteúdo: operação de divergente em um campo vetorial (teorema de Gauss local) e interpretação física (campo de carga pontual). Vamos precisar da definição
e da forma do nosso .

Passo 2

Primeiro, lembra o que é divergente? É uma medida de “fluxo saindo” num ponto, via derivadas parciais. Se nablacdotvec E =partial Expartial x +partial Eypartial y +partial Ezpartial z ,
Ex = k,Q,xr^3, Ey = k,Q,yr^3, Ez = k,Q,zr^3,
Aqui temos
com e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada. Por exemplo,
partial Expartial x = kQ,partialpartial xl(xr^3r) = kQl(1r^3 - 3x^2r^5r)
Analogamente,
partial Eypartial y = kQl(1r^3 - 3y^2r^5r), partial Ezpartial z = kQl(1r^3 - 3z^2r^5r)
Somando tudo:
nablacdotvec E = kQl(1r^3 - 3x^2r^5 +1r^3 - 3y^2r^5 +1r^3 - 3z^2r^5r) = kQl(3r^3 - 3(x^2+y^2+z^2)r^5r)
Mas nablacdotvec E = kQl(3r^3 - 3r^2r^5r) = kQl(3r^3 - 3r^3r) = 0, , então
desde que .

Passo 4

Agora é só avaliar nos pontos dados:
(1,0,0) , logo .
(0,1,0) mesmo raciocínio, , dá 0.
(0,0,1) idem, dá 0.

Passo 5

Sobre a parte (b), lembra do que é aquele campo? É exatamente o campo de Coulomb gerado por uma carga pontual vec E(vec r)=14pivarepsilon0,Qr^2,hat r no ponto-origem. Em aula vimos que o campo de uma carga pontual é
e, escrevendo , bate certinho com a fórmula do enunciado.

Resposta

(a) em , e .
(b) Esse é o campo elétrico de uma carga pontual colocada na origem.

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