(Valor: 3,00 pontos) Considere o campo elétrico
Nessas condições,
(a) Calcule o divergente
nos pontos
e
, respectivamente.
(b) O campo elétrico
lembra alguma das configurações de carga(s) elétrica(s) que discutimos em sala de aula? Explique detalhadamente seu raciocínio.
(a) Calcule o divergente
(b) O campo elétrico
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado diz que temos um campo elétrico
e pede:
(a) Calcular o divergente nos pontos
,
e
.
(b) Dizer de que configuração de carga esse campo lembra.
(a) Calcular o divergente
(b) Dizer de que configuração de carga esse campo lembra.
Conteúdo: operação de divergente em um campo vetorial (teorema de Gauss local) e interpretação física (campo de carga pontual). Vamos precisar da definição
e da forma do nosso
.
Passo 2
Primeiro, lembra o que é divergente? É uma medida de “fluxo saindo” num ponto, via derivadas parciais. Se
,
Aqui temos
com
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada. Por exemplo,
Analogamente,
Somando tudo:
Mas
, então
desde que
.
Passo 4
Agora é só avaliar nos pontos dados:
(1,0,0) , logo
.
(0,1,0) mesmo raciocínio,
, dá 0.
(0,0,1) idem, dá 0.
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
Passo 5
Sobre a parte (b), lembra do que é aquele campo? É exatamente o campo de Coulomb gerado por uma carga pontual
no ponto-origem. Em aula vimos que o campo de uma carga pontual é
e, escrevendo
, bate certinho com a fórmula do enunciado.
Resposta
(a)
em
,
e
.
(b) Esse é o campo elétrico de uma carga pontual
colocada na origem.
(b) Esse