Ex. 1 - Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 75 cm apresenta frequências de ressonância de 420 e 315 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre os dois valores. Determine (a) a menor frequência de ressonância, (b) a velocidade da onda e © Determine qual é o modo normal de vibração das frequências mencionadas e quantos nós elas possuem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma corda esticada entre dois suportes que estão separados por 75 cm. Essa corda tem frequências de ressonância de 420 Hz e 315 Hz, e não há outras frequências entre esses valores. Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias em cordas, como frequência fundamental, harmônicos e velocidade da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são frequências de ressonância. Elas são as frequências nas quais a corda vibra de maneira mais eficiente, formando ondas estacionárias. Essas frequências estão relacionadas aos modos de vibração, que dependem do comprimento da corda e da velocidade da onda nela.
Passo 3
Sabemos que a distância entre os suportes é 75 cm, ou seja, o comprimento da corda $ L = 0,75 $ metros. A fórmula das frequências de ressonância para uma corda fixa nas duas extremidades é:
onde:
- $ f_n $ é a frequência n-ésima,
- $ n $ é o número do modo (1, 2, 3, …),
- $ v $ é a velocidade da onda na corda,
- $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 4
Vamos identificar os valores de $ n $ para as frequências dadas. Como não há outras frequências entre 315 Hz e 420 Hz, isso sugere que essas são frequências consecutivas, ou seja, correspondem a $ n $ e $ n+1 $.
Vamos chamar a menor frequência de $ f_n = 315 $ Hz e a próxima de $ f_{n+1} = 420 $ Hz.
Passo 5
Usando a fórmula das frequências:
Dividindo as duas equações:
Substituindo os valores:
Resolvendo para $ n $:
Passo 6
Agora que sabemos que $ n = 3 $ para 315 Hz, podemos encontrar a menor frequência de ressonância, que é justamente $ f_1 $, a frequência fundamental.
Usando a relação $ f_n = n \cdot f_1 $:
Passo 7
Para encontrar a velocidade da onda $ v $, usamos a fórmula da frequência:
Rearranjando para $ v $:
Usando $ f_n = 315 $ Hz e $ n = 3 $:
Passo 8
Agora, vamos determinar o modo de vibração e o número de nós para as frequências dadas.
O modo de vibração é determinado pelo número $ n $:
- $ n = 1 $: primeiro modo (fundamental), 0 nós (apenas as extremidades),
- $ n = 2 $: segundo modo, 1 nó,
- $ n = 3 $: terceiro modo, 2 nós,
- e assim por diante.
Para 315 Hz, $ n = 3 $: terceiro modo, com 2 nós.
Para 420 Hz, $ n = 4 $: quarto modo, com 3 nós.
Para 420 Hz, $ n = 4 $: quarto modo, com 3 nós.
Resposta
(a) A menor frequência de ressonância é 105 Hz.
(b) A velocidade da onda na corda é 470 m/s.
©
(b) A velocidade da onda na corda é 470 m/s.
©
- A frequência de 315 Hz corresponde ao terceiro modo de vibração, com 2 nós.
- A frequência de 420 Hz corresponde ao quarto modo de vibração, com 3 nós.