Calcule os limites
Limx 0 cosec 3 xcot g x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0csc(3x)cot(x),
que envolve funções trigonométricas (cosecante e cotangente). Para resolver, vamos reescrever tudo em termos de seno e cosseno e usar as aproximações para ângulos pequenos.

Passo 2

Reescrevemos cada função em termos de seno e cosseno:
csc(3x)=1sin(3x), cot(x)=cos(x)sin(x)
Logo, a expressão fica
csc(3x)cot(x) =1sin(3x)cos(x)sin(x) =1sin(3x);cdot;sin(x)cos(x) =sin(x)sin(3x),cos(x)

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de cada fator quando xto0. Sabemos que, para x muito pequeno,
sin(x)sim x, sin(3x)sim3x, cos(x)sim1
Aqui “ sim” significa que o quociente entre os dois lados tende a 1 quando xto0.

Passo 4

Substituindo essas aproximações na fração obtemos
sin(x)sin(3x),cos(x) sim x(3x)cdot1 =x3x =13
Portanto o limite vale tfrac13.

Resposta

boxed13

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