Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam . Mostre que:

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado como R, o produto de um número positivo por um número negativo é negativo. Vamos usar os axiomas de corpo ordenado:
  1. Se x>0 e y>0 então xy>0.
  2. Se x<0 então -x>0.
  3. A multiplicação é distributiva sobre a adição, o que implica, em particular, que a(-b)=-(ab)

Passo 2

Como binR^-, temos por definição b<0. Pelo axioma de ordem, isso implica
-b>0,
ou seja, -binR^+.

Passo 3

Também sabemos que ainR^+, logo a>0. Pelo axioma de multiplicação em R, o produto de dois positivos é positivo. Portanto,
a,( -b)>0

Passo 4

Pela propriedade distributiva temos
a(-b)=-(ab)
Como a(-b)>0, isso equivale a dizer que
-(ab)>0,
ou seja,
ab<0
Logo abinR^-.

Resposta

abinR^-.

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