Simplificando a expressão
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}
temos:
a) \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}
b) x-y-2 y x^{2}
c) x+y
d) x-y
e) \frac{x+y}{x-y}
Supor:
\quad x \neq y e x \neq-y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a expressão a ser simplificada:
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}
  • O enunciado dá as hipóteses: x \neq y e x \neq -y.
  • Pergunta: entre as alternativas a)–e) qual é a expressão equivalente (após simplificação)?
As alternativas são:
a) \dfrac{x-y}{x^{2}+y^{2}}
b) x-y-2 y x^{2}
c) x+y
d) x-y
e) \dfrac{x+y}{x-y}

Passo 2

Identificar uma simplificação imediata no numerador.
Note que (y+x) = (x+y). Portanto
(y+x)^{3}=(x+y)^{3}.
Substituindo no numerador:
(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}=(x+y)^{3}-2(x+y)^{3}.
Isso é uma combinação de termos iguais; fatorando o comum (x+y)^{3} obtemos
(x+y)^{3}-2(x+y)^{3}=(1-2)(x+y)^{3}=-\,(x+y)^{3}.

Passo 3

Escrever a expressão já simplificada até este ponto.
Com o resultado do passo anterior a expressão original fica
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Esse é um bom avanço: reduziu-se o numerador a uma forma mais simples. Vou agora examinar se dá para simplificar mais, por exemplo cancelando fatores.

Passo 4

Tentar fatorar o numerador e ver se há cancelamento com o denominador.
Usando a identidade do cubo perfeito:
(x+y)^{3}=(x+y)\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).
Logo o numerador pode ser escrito como
- (x+y)^{3}=-(x+y)\bigl(x^{2}+2xy+y^{2}\bigr).
Para cancelar um fator (x+y) com o denominador seria necessário que x^{2}+y^{2} tivesse um fator (x+y). Vamos verificar isso algebricamente escrevendo x^{2}+y^{2} em termos de (x+y):
Calcule
(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.
Logo
x^{2}+y^{2}=(x+y)(x-y)+2y^{2}.
O termo 2y^{2} é um resto que impede x^{2}+y^{2} de ser, em geral, múltiplo exato de (x+y). Assim, em geral não há fator comum (x+y) para cancelar com segurança. A hipótese x\neq -y garante apenas que (x+y)\neq0, isto é, que não estamos dividindo por zero ao fazer uma eventual divisão por (x+y), mas não faz com que x^{2}+y^{2} seja igual a (x+y) vezes alguma expressão polinomial sem resto. Portanto a forma
-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}
é a simplificação algébrica direta e não se reduz, de forma geral, a uma das alternativas apresentadas por cancelamento direto.

Passo 5

Verificação numérica rápida para checar se alguma alternativa coincide com a expressão simplificada para valores concretos (se uma alternativa for igual identicamente, deve dar igualdade para qualquer par (x,y) permitido).
Escolho x=2 e y=1 (satisfazem x\neq y e x\neq -y). Calcular a expressão original (ou a forma simplificada):
-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{(2+1)^{3}}{2^{2}+1^{2}}=-\frac{27}{5}=-\frac{27}{5}.
Agora calcular as alternativas com os mesmos valores:
  • a) \dfrac{x-y}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{2-1}{4+1}=\dfrac{1}{5}.
  • b) x-y-2 y x^{2}=2-1-2\cdot1\cdot4=1-8=-7.
  • c) x+y=3.
  • d) x-y=1.
  • e) \dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{3}{1}=3.
Nenhuma destas quantidades é igual a -\dfrac{27}{5}. Como a igualdade entre expressões polinomiais/racionais que não dependem de valores particulares deve valer para todos os pares (x,y) admissíveis, a falha para este exemplo mostra que nenhuma das alternativas a)–e) é identicamente igual à expressão simplificada.

Passo 6

Conclusão geral e justificativa final.
Algebricamente chegamos à forma mais simples que é
-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Essa forma não coincide, em geral, com nenhuma das alternativas listadas (a)–(e); a verificação numérica com x=2,y=1 confirma que nenhuma alternativa é igual ao valor da expressão para aquele par e, portanto, não são identicamente iguais.

Resposta

Nenhuma das alternativas — -\dfrac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}

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