Simplificando a expressão
temos:
a)
b)
c)
d)
e)
Supor:
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a expressão a ser simplificada:
- O enunciado dá as hipóteses:
e . - Pergunta: entre as alternativas a)–e) qual é a expressão equivalente (após simplificação)?
As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Identificar uma simplificação imediata no numerador.
Note que
. Portanto
Substituindo no numerador:
Isso é uma combinação de termos iguais; fatorando o comum
obtemos
Passo 3
Escrever a expressão já simplificada até este ponto.
Com o resultado do passo anterior a expressão original fica
Esse é um bom avanço: reduziu-se o numerador a uma forma mais simples. Vou agora examinar se dá para simplificar mais, por exemplo cancelando fatores.
Passo 4
Tentar fatorar o numerador e ver se há cancelamento com o denominador.
Usando a identidade do cubo perfeito:
Logo o numerador pode ser escrito como
Para cancelar um fator
com o denominador seria necessário que
tivesse um fator
. Vamos verificar isso algebricamente escrevendo
em termos de
:
Calcule
Logo
O termo
é um resto que impede
de ser, em geral, múltiplo exato de
. Assim, em geral não há fator comum
para cancelar com segurança. A hipótese
garante apenas que
, isto é, que não estamos dividindo por zero ao fazer uma eventual divisão por
, mas não faz com que
seja igual a
vezes alguma expressão polinomial sem resto. Portanto a forma
é a simplificação algébrica direta e não se reduz, de forma geral, a uma das alternativas apresentadas por cancelamento direto.
Passo 5
Verificação numérica rápida para checar se alguma alternativa coincide com a expressão simplificada para valores concretos (se uma alternativa for igual identicamente, deve dar igualdade para qualquer par
permitido).
Escolho
e
(satisfazem
e
). Calcular a expressão original (ou a forma simplificada):
Agora calcular as alternativas com os mesmos valores:
- a)
. - b)
. - c)
. - d)
. - e)
.
Nenhuma destas quantidades é igual a
. Como a igualdade entre expressões polinomiais/racionais que não dependem de valores particulares deve valer para todos os pares
admissíveis, a falha para este exemplo mostra que nenhuma das alternativas a)–e) é identicamente igual à expressão simplificada.
Passo 6
Conclusão geral e justificativa final.
Algebricamente chegamos à forma mais simples que é
Essa forma não coincide, em geral, com nenhuma das alternativas listadas (a)–(e); a verificação numérica com
confirma que nenhuma alternativa é igual ao valor da expressão para aquele par e, portanto, não são identicamente iguais.
Resposta
Nenhuma das alternativas —