(4,0) Calcule os limites, se possível.
lim x 0 sin x-tan ^2 2 xx

Passo 1

O enunciado pede
limxto 0sin x-tan^2(2x)x
Estamos diante de um limite do tipo 0/0, pois sin xsim x e tan^2(2x)sim 4x^2 quando xto0. Para resolver, vamos usar as expansões de Taylor em torno de 0.

Passo 2

Expandimos sin x até a ordem x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 3

Expandimos tan(2x) até a ordem x^3 e então elevamos ao quadrado:
tan(2x) = 2x + (2x)^33 + O(x^5) = 2x + 8x^33 + O(x^5),
tan^2(2x) = l(2x + tfrac8x^33 + O(x^5)r)^2 = 4x^2 + 32x^43 + O(x^6)

Passo 4

Substituímos nas expansões e simplificamos o numerador, depois dividimos por x:
sin x - tan^2(2x) = l(x - x^36 + O(x^5)r) - l(4x^2 + O(x^4)r) = x - 4x^2 - x^36 + O(x^4),
sin x - tan^2(2x)x = x - 4x^2 - x^36 + O(x^4)x = 1 - 4x - x^26 + O(x^3)

Passo 5

Como xto0, os termos que envolvem potências de x vão a zero, restando
limxto0sin x-tan^2(2x)x = 1

Resposta

1

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