Calcule os limites e prove se eles existem.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite e verificar se ele existe para a função
quando
. Dados relevantes:
A pergunta é: existe um valor único
tal que
Passo 2
Ideia para investigar existência do limite (explicação didática): em limites de funções de duas variáveis é comum testar aproximações ao ponto peloções diferentes (caminhos). Se encontrarmos dois caminhos que conduzem a limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Para escolher bons caminhos, observe as ordens (potências) no numerador e denominador: o denominador tem termos de ordem
e
. Para que esses termos fiquem da mesma ordem quando aproximamos a origem, faz sentido tentar uma relação do tipo
com
constante. Isso “equilibra”
e
, tornando possível que o quociente limite dependa de
.
Passo 3
Substituímos a curva
em
. Fazendo a substituição:
Agora simplificamos passo a passo. O numerador fica
O denominador fica
Portanto
Passo 4
Cancelamos
(para
) e obtemos
Agora tomamos o limite quando
. Sabemos que
quando
(porque
e a exponencial é contínua). Logo
Passo 5
Conclusão a partir do passo anterior: o limite ao longo da curva
é
, que depende do parâmetro
. Para provar que o limite total não existe basta escolher dois valores de
que deem resultados diferentes. Exemplos simples:
Como
, os limites ao longo dessas duas curvas são diferentes.
Passo 6
Teorema usado (explicado de forma simples): se o limite de uma função de duas variáveis existisse e fosse igual a um número
, então o valor limite ao longo de qualquer caminho ao ponto teria que ser
. Encontrando dois caminhos com limites distintos, concluímos que não existe um
único. Aplicando isso aqui, visto que obtivemos dois limites distintos (
e
), segue que
não existe.
Resposta
O limite não existe.