Calcule os limites e prove se eles existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y e^{y}}{x^{4}+4 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite e verificar se ele existe para a função
f(x,y)=\frac{x^{2}y e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Dados relevantes:
\text{ponto de interesse: }(0,0),
\text{função: }f(x,y)=\frac{x^{2}y e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}.çã
A pergunta é: existe um valor único L tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L?

Passo 2

Ideia para investigar existência do limite (explicação didática): em limites de funções de duas variáveis é comum testar aproximações ao ponto peloções diferentes (caminhos). Se encontrarmos dois caminhos que conduzem a limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Para escolher bons caminhos, observe as ordens (potências) no numerador e denominador: o denominador tem termos de ordem x^{4} e y^{2}. Para que esses termos fiquem da mesma ordem quando aproximamos a origem, faz sentido tentar uma relação do tipo
y=kx^{2},
com k constante. Isso “equilibra” x^{4} e y^{2}, tornando possível que o quociente limite dependa de k.

Passo 3

Substituímos a curva y=kx^{2} em f(x,y). Fazendo a substituição:
y=kx^{2}\quad\Rightarrow\quad f(x,kx^{2})=\frac{x^{2}\cdot(kx^{2})\;e^{kx^{2}}}{x^{4}+4(kx^{2})^{2}}.
Agora simplificamos passo a passo. O numerador fica
x^{2}\cdot(kx^{2})\;e^{kx^{2}}=k\,x^{4}\,e^{kx^{2}}.
O denominador fica
x^{4}+4(kx^{2})^{2}=x^{4}+4k^{2}x^{4}=x^{4}(1+4k^{2}).
Portanto
f(x,kx^{2})=\frac{k\,x^{4}\,e^{kx^{2}}}{x^{4}(1+4k^{2})}.

Passo 4

Cancelamos x^{4} (para x\neq0) e obtemos
f(x,kx^{2})=\frac{k\,e^{kx^{2}}}{1+4k^{2}}.
Agora tomamos o limite quando x\to0. Sabemos que e^{kx^{2}}\to 1 quando x\to0 (porque kx^{2}\to0 e a exponencial é contínua). Logo
\lim_{x\to0} f(x,kx^{2})=\frac{k\cdot 1}{1+4k^{2}}=\frac{k}{1+4k^{2}}.

Passo 5

Conclusão a partir do passo anterior: o limite ao longo da curva y=kx^{2} é \dfrac{k}{1+4k^{2}}, que depende do parâmetro k. Para provar que o limite total não existe basta escolher dois valores de k que deem resultados diferentes. Exemplos simples:
\text{para }k=0:\quad \frac{k}{1+4k^{2}}=\frac{0}{1}=0,
\text{para }k=1:\quad \frac{k}{1+4k^{2}}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}.
Como 0\neq \tfrac{1}{5}, os limites ao longo dessas duas curvas são diferentes.

Passo 6

Teorema usado (explicado de forma simples): se o limite de uma função de duas variáveis existisse e fosse igual a um número L, então o valor limite ao longo de qualquer caminho ao ponto teria que ser L. Encontrando dois caminhos com limites distintos, concluímos que não existe um L único. Aplicando isso aqui, visto que obtivemos dois limites distintos ( 0 e \tfrac{1}{5}), segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y e^{y}}{x^{4}+4y^{2}}
não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados