Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes. Nos casos em que puder, calcule-as.
\int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}} d x;

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine se a integral imprópria
\int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}}\,dx
é convergente e, se for possível, que a calculemos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é de 4 a 8.
  • O integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x-4}}.
  • Há um ponto problemático em x=4, porque \sqrt{x-4}=0 quando x=4; isso torna a integral imprópria (singularidade no limite inferior).

Passo 2

Definição e como tratamos a integral imprópria: quando a singularidade ocorre no limite de integração x=4, interpretamos a integral como um limite à direita:
\int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}}\,dx = \lim_{a\to 4^{+}} \int_{a}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}}\,dx.
Ou seja, calculamos a integral com limite inferior a>4 e depois fazemos a\to4^+. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.

Passo 3

Teste de tipo p\) (intuição para convergência perto da singularidade): se uma função, perto de \(x=4\), tem comportamento semelhante a \((x-4)^{-p}\), então a integral do tipo \[\int_{4}^{4+\delta} (x-4)^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p<1. Para ver por que, faça a mudança t=x-4; a integral vira
\int_{0}^{\delta} t^{-p}\,dt,
e sabemos que
\int_{0}^{\delta} t^{-p}\,dt = \begin{cases} \displaystyle \frac{\delta^{1-p}}{1-p}, & \text{se } p\neq 1,\\[6pt] \displaystyle \ln(\delta^{-1}), & \text{se } p=1. \end{cases}
Assim, para p<1\] o valor é finito, e para \(p\ge 1 diverge.]

Passo 4

Aplique o teste ao nosso integrando: quando x\to4^{+} temos x\approx 4 no numerador, então o integrando comporta-se como
\frac{x}{\sqrt{x-4}} \sim \frac{4}{(x-4)^{1/2}}.
Ou seja, é comparável a (x-4)^{-1/2}, isto é, com p=\tfrac{1}{2}. Como \tfrac{1}{2}<1, pela regra do passo anterior a singularidade é integrável e a integral imprópria deve convergir. Agora vamos calcular seu valor exatamente.

Passo 5

Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável simples para eliminar o \sqrt{x-4}. Defina
u = x-4.
Então x = u+4 e dx = du. Os limites mudam: quando x=4 temos u=0; quando x=8 temos u=4. A integral transforma-se em
\int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}}\,dx = \int_{0}^{4} \frac{u+4}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 6

Simplificamos o integrando escrevendo-o como soma de potências:
\frac{u+4}{\sqrt{u}} = \frac{u}{\sqrt{u}} + \frac{4}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} + 4u^{-1/2}.
Agora integramos termo a termo. Usamos a regra básica de integração de potências: para r\neq -1,
\int u^{r}\,du = \frac{u^{r+1}}{r+1} + C.
Aplicando com r=\tfrac{1}{2} e r=-\tfrac{1}{2}:
\int \sqrt{u}\,du = \int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2},
\int 4u^{-1/2}\,du = 4\int u^{-1/2}\,du = 4\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = 4\cdot 2 u^{1/2} = 8 u^{1/2}.
Assim uma antiderivada para o integrando é
F(u) = \frac{2}{3}u^{3/2} + 8 u^{1/2}.

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida usando F entre u=0 e u=4:
\int_{0}^{4} \left(\sqrt{u}+4u^{-1/2}\right)\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 8u^{1/2}\right]_{0}^{4}.
Calcule as potências em u=4: u^{1/2}=2 e u^{3/2}=4^{3/2}= (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8. Portanto, em u=4 temos
\frac{2}{3}\cdot 8 + 8\cdot 2 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{16}{3} + \frac{48}{3} = \frac{64}{3}.
Em u=0 ambos os termos valem zero, então a diferença é \dfrac{64}{3}.

Passo 8

Conclusão: a integral imprópria converge (porque cerca de x=4 tem comportamento como (x-4)^{-1/2} com p=\tfrac{1}{2}<1) e seu valor é \dfrac{64}{3}.

Resposta

Converge\n \dfrac{64}{3}

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