Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes. Nos casos em que puder, calcule-as. \int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}} d x;
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine se a integral imprópria
\int_{4}^{8} \frac{x}{\sqrt{x-4}}\,dx
é convergente e, se for possível, que a calculemos. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O intervalo de integração é de 4 a 8.
O integrando é \dfrac{x}{\sqrt{x-4}}.
Há um ponto problemático em x=4, porque \sqrt{x-4}=0 quando x=4; isso torna a integral imprópria (singularidade no limite inferior).
Passo 2
Definição e como tratamos a integral imprópria: quando a singularidade ocorre no limite de integração x=4, interpretamos a integral como um limite à direita:
Ou seja, calculamos a integral com limite inferior a>4 e depois fazemos a\to4^+. Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Teste de tipo p\) (intuição para convergência perto da singularidade): se uma função, perto de \(x=4\), tem comportamento semelhante a \((x-4)^{-p}\), então a integral do tipo
\[\int_{4}^{4+\delta} (x-4)^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p<1. Para ver por que, faça a mudança t=x-4; a integral vira
Assim, para p<1\] o valor é finito, e para \(p\ge 1 diverge.]
Passo 4
Aplique o teste ao nosso integrando: quando x\to4^{+} temos x\approx 4 no numerador, então o integrando comporta-se como
\frac{x}{\sqrt{x-4}} \sim \frac{4}{(x-4)^{1/2}}.
Ou seja, é comparável a (x-4)^{-1/2}, isto é, com p=\tfrac{1}{2}. Como \tfrac{1}{2}<1, pela regra do passo anterior a singularidade é integrável e a integral imprópria deve convergir. Agora vamos calcular seu valor exatamente.
Passo 5
Para calcular a integral, fazemos a mudança de variável simples para eliminar o \sqrt{x-4}. Defina
u = x-4.
Então x = u+4 e dx = du. Os limites mudam: quando x=4 temos u=0; quando x=8 temos u=4. A integral transforma-se em