Encontre a solução geral (ou seja, todas as soluções) de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral (todas as soluções). Vamos primeiro identificar exatamente o que cada símbolo quer dizer e quais são os dados fornecidos.
Passo 2
Explicação didática do que significa
. Em notação de derivadas, a derivada de ordem
de uma função
é escrita
. Por convenção:
ou seja, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função. Aqui o enunciado usa a notação
, que correspondendo a essa convenção significa simplesmente
(a própria função), não uma potência. Portanto podemos interpretar a equação como
Passo 3
Transformando a equação dada pela definição do passo anterior, obtemos a igualdade direta:
Isto já é a forma explícita da função
. Não há integração nem diferenciação a fazer: a equação relaciona a função
ao lado direito de forma direta.
Passo 4
Breve aula sobre por que não aparece constante arbitrária aqui. Em equações diferenciais de ordem
ao integrar normalmente aparece uma constante de integração (ou
constantes). Aqui, como a equação envolve a derivada de ordem zero (ou seja, não envolve derivadas a integrar), não há operação que gere constantes arbitrárias. Portanto a solução é determinada unicamente pela expressão dada.
Passo 5
Domínio e observações sobre a solução. O lado direito
, é definido para todo
. Logo a solução é uma função bem definida em todo
:
Passo 6
Sanity check (checagem rápida): se quisermos verificar, basta substituir a solução de volta na equação original. Pelo passo 2, a esquerda
é
, e a direita é exatamente
. A igualdade é satisfeita identicamente, então a solução está correta.