Encontre a solução geral (ou seja, todas as soluções) de
y^{0}=e^{3 x}-x.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{0}=e^{3 x}-x
e pede a solução geral (todas as soluções). Vamos primeiro identificar exatamente o que cada símbolo quer dizer e quais são os dados fornecidos.

Passo 2

Explicação didática do que significa y^{0}. Em notação de derivadas, a derivada de ordem n de uma função y(x) é escrita y^{(n)}. Por convenção:
y^{(0)}=y,
ou seja, a derivada de ordem zero de uma função é a própria função. Aqui o enunciado usa a notação y^{0}, que correspondendo a essa convenção significa simplesmente y (a própria função), não uma potência. Portanto podemos interpretar a equação como
y(x)=e^{3x}-x.

Passo 3

Transformando a equação dada pela definição do passo anterior, obtemos a igualdade direta:
y(x)=e^{3x}-x.
Isto já é a forma explícita da função y. Não há integração nem diferenciação a fazer: a equação relaciona a função y ao lado direito de forma direta.

Passo 4

Breve aula sobre por que não aparece constante arbitrária aqui. Em equações diferenciais de ordem n\ge1 ao integrar normalmente aparece uma constante de integração (ou n constantes). Aqui, como a equação envolve a derivada de ordem zero (ou seja, não envolve derivadas a integrar), não há operação que gere constantes arbitrárias. Portanto a solução é determinada unicamente pela expressão dada.

Passo 5

Domínio e observações sobre a solução. O lado direito \,e^{3x}-x, é definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo a solução é uma função bem definida em todo \mathbb{R}:
y:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad y(x)=e^{3x}-x.

Passo 6

Sanity check (checagem rápida): se quisermos verificar, basta substituir a solução de volta na equação original. Pelo passo 2, a esquerda y^{0} é y, e a direita é exatamente e^{3x}-x. A igualdade é satisfeita identicamente, então a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{3x}-x

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