Informações dadas que vamos usar: \;x aparece no numerador; o denominador é o produto dos fatores \,(x-2),\,(x^{2}+1) e (x^{2}+4).
A integral é indefinida (ou seja, procure a primitiva geral com constante de integração).
Passo 2
Vamos usar decomposição em frações parciais: é uma técnica padrão para integrais de funções racionais. Primeiro verificamos que a função é própria: o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 5, então está tudo certo para decompor sem dividir polinômios.
Por causa dos fatores do denominador, a forma geral da decomposição é
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Explicação curta do porquê: para um fator linear usamos constante (A), e para cada fator quadrático irreduzível usamos numerador linear (Bx+C, Dx+E).
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x^{2}+1)(x^{2}+4) para obter a identidade polinomial
x = A(x^{2}+1)(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-2)(x^{2}+4) + (Dx+E)(x-2)(x^{2}+1).
Esta igualdade deve valer para todo x. A partir dela extraímos equações para as constantes.
Passo 4
Encontramos A facilmente substituindo x=2 (anula os termos multiplicados por x-2):
2 = A\,(2^{2}+1)(2^{2}+4)=A\cdot 5\cdot 8=40A,
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A=\frac{1}{20}.
Passo 5
Agora expandimos os restantes para igualar coeficientes. Calculamos separadamente as expansões:
Para A-termo:
A(x^{2}+1)(x^{2}+4)=A\,(x^{4}+5x^{2}+4).
Para (Bx+C)(x-2)(x^{2}+4) primeiro notamos (x-2)(x^{2}+4)=x^{3}-2x^{2}+4x-8. Multiplicando por Bx+C obtemos