Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{x}{(x-2)\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{(x-2)\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
\;x aparece no numerador; o denominador é o produto dos fatores \,(x-2),\,(x^{2}+1) e (x^{2}+4).
A integral é indefinida (ou seja, procure a primitiva geral com constante de integração).

Passo 2

Vamos usar decomposição em frações parciais: é uma técnica padrão para integrais de funções racionais. Primeiro verificamos que a função é própria: o numerador tem grau 1 e o denominador tem grau 5, então está tudo certo para decompor sem dividir polinômios.
Por causa dos fatores do denominador, a forma geral da decomposição é
\frac{x}{(x-2)(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}+\frac{Dx+E}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Explicação curta do porquê: para um fator linear usamos constante ( A), e para cada fator quadrático irreduzível usamos numerador linear ( Bx+C, Dx+E).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)(x^{2}+1)(x^{2}+4) para obter a identidade polinomial
x = A(x^{2}+1)(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-2)(x^{2}+4) + (Dx+E)(x-2)(x^{2}+1).
Esta igualdade deve valer para todo x. A partir dela extraímos equações para as constantes.

Passo 4

Encontramos A facilmente substituindo x=2 (anula os termos multiplicados por x-2):
2 = A\,(2^{2}+1)(2^{2}+4)=A\cdot 5\cdot 8=40A,
logo
A=\frac{1}{20}.

Passo 5

Agora expandimos os restantes para igualar coeficientes. Calculamos separadamente as expansões:
Para A-termo:
A(x^{2}+1)(x^{2}+4)=A\,(x^{4}+5x^{2}+4).
Para (Bx+C)(x-2)(x^{2}+4) primeiro notamos (x-2)(x^{2}+4)=x^{3}-2x^{2}+4x-8. Multiplicando por Bx+C obtemos
(Bx+C)(x^{3}-2x^{2}+4x-8)=Bx^{4}+(-2B+C)x^{3}+(4B-2C)x^{2}+(-8B+4C)x-8C.
Para (Dx+E)(x-2)(x^{2}+1) notamos (x-2)(x^{2}+1)=x^{3}-2x^{2}+x-2. Multiplicando por Dx+E obtemos
(Dx+E)(x^{3}-2x^{2}+x-2)=Dx^{4}+(-2D+E)x^{3}+(D-2E)x^{2}+(-2D+E)x-2E.
Somando tudo e usando A=\tfrac{1}{20} igualamos aos coeficientes do polinômio x, isto é, ao polinômio 0x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+1x+0.

Passo 6

Escrevendo equações para cada grau obtemos o sistema linear:
grau x^{4}:
\frac{1}{20}+B+D=0.
grau x^{3}:
-2B+C-2D+E=0.
grau x^{2}:
\frac{1}{4}+(4B-2C)+(D-2E)=0,
pois A\cdot 5 = \tfrac{5}{20}=\tfrac{1}{4}.
grau x^{1}:
-8B+4C-2D+E=1.
constante:
\frac{1}{5}-8C-2E=0,
pois A\cdot 4=\tfrac{4}{20}=\tfrac{1}{5}.
Agora resolvemos o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
B+D=-\frac{1}{20}. \tag{1}
Da equação das constantes:
\frac{1}{5}-8C-2E=0 \implies 8C+2E=\frac{1}{5}\implies 4C+E=\frac{1}{10}. \tag{2}
Da equação do coeficiente de x^{3}:
-2B+C-2D+E=0 \implies C+E-2(B+D)=0.
Usando (1) temos B+D=-\tfrac{1}{20}, então
C+E-2\Big(-\frac{1}{20}\Big)=0 \implies C+E+\frac{1}{10}=0 \implies C+E=-\frac{1}{10}. \tag{3}
Agora resolvemos (2) e (3) para C e E. Subtraindo (3) de (2) ou resolvendo diretamente:
De (2): E=\tfrac{1}{10}-4C. Substituindo em (3):
C+\left(\frac{1}{10}-4C\right)=-\frac{1}{10}\implies -3C+\frac{1}{10}=-\frac{1}{10}\implies -3C=-\frac{2}{10}=-\frac{1}{5}.
Logo
C=\frac{1}{15}.
E então
E=\frac{1}{10}-4\cdot\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{4}{15}=-\frac{1}{6}.
Agora usamos a equação do coeficiente de x^{1}:
-8B+4C-2D+E=1.
Substituímos C=\tfrac{1}{15} e E=-\tfrac{1}{6}:
-8B+4\cdot\frac{1}{15}-2D-\frac{1}{6}=1.
Calculamos 4\cdot\frac{1}{15}-\frac{1}{6}=\frac{4}{15}-\frac{1}{6}=\frac{8-5}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}. Assim
-8B-2D+\frac{1}{10}=1\implies -8B-2D=\frac{9}{10}.
Dividindo por -2:
4B+D=-\frac{9}{20}. \tag{4}
Usando (1) que diz D=-\frac{1}{20}-B, substituímos em (4):
4B+\left(-\frac{1}{20}-B\right)=-\frac{9}{20}\implies 3B-\frac{1}{20}=-\frac{9}{20}\implies 3B=-\frac{8}{20}=-\frac{2}{5}.
Logo
B=-\frac{2}{15}.
E então
D=-\frac{1}{20}-B=-\frac{1}{20}+\frac{2}{15}=\frac{1}{12}.
Conferência rápida: todas as equações são satisfeitas com
A=\frac{1}{20},\quad B=-\frac{2}{15},\quad C=\frac{1}{15},\quad D=\frac{1}{12},\quad E=-\frac{1}{6}.

Passo 7

Escrevemos a decomposição completa com os valores encontrados:
\frac{x}{(x-2)(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{1}{20}\cdot\frac{1}{x-2}+\frac{-\tfrac{2}{15}x+\tfrac{1}{15}}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{1}{12}x-\tfrac{1}{6}}{x^{2}+4}.

Passo 8

Integramos termo a termo. Recordando integrais básicas úteis:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.
  • \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^{2}+a^{2})+C (substituição u=x^{2}+a^{2}, du=2x\,dx).
  • \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\big(\frac{x}{a}\big)+C.
Aplicando a integração:
  1. Para o primeiro termo:
\int \frac{1}{20}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx=\frac{1}{20}\ln|x-2|.
  1. Para \displaystyle \frac{-\tfrac{2}{15}x+\tfrac{1}{15}}{x^{2}+1} separamos em duas integrais:
\int \frac{-\tfrac{2}{15}x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{2}{15}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)=-\frac{1}{15}\ln(x^{2}+1),
\int \frac{\tfrac{1}{15}}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{15}\arctan x.
  1. Para \displaystyle \frac{\tfrac{1}{12}x-\tfrac{1}{6}}{x^{2}+4} também separamos:
\int \frac{\tfrac{1}{12}x}{x^{2}+4}\,dx=\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=\frac{1}{24}\ln(x^{2}+4),
\int \frac{-\tfrac{1}{6}}{x^{2}+4}\,dx=-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\big(\frac{x}{2}\big)=-\frac{1}{12}\arctan\!\big(\frac{x}{2}\big),
pois aqui a=2 e \int \frac{1}{x^{2}+4}dx=\frac{1}{2}\arctan(x/2).

Passo 9

Somando todas as partes obtemos a primitiva geral:
\int \frac{x}{(x-2)\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\,dx= \frac{1}{20}\ln|x-2|-\frac{1}{15}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{15}\arctan x+\frac{1}{24}\ln(x^{2}+4)-\frac{1}{12}\arctan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}\ln|x-2|-\frac{1}{15}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{15}\arctan x+\frac{1}{24}\ln(x^{2}+4)-\frac{1}{12}\arctan\!\big(\tfrac{x}{2}\big)+C

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