Calcule os limites com raízes e racionalização
lim x 4 raiz16-x^2x-4

Passo 1

O enunciado pede
limxto4raiz16-x^2x-4
que é um caso de indeterminação do tipo tfrac00. Vamos usar a técnica de “racionalização” (ou fatoração dentro da raiz) para simplificar a expressão e eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Verificamos a substituição direta: ao pôr x=4 temos
raiz16-4^2=0 e 4-4=0,
logo a expressão é tfrac00, o que confirma a necessidade de manipular algebricamente.

Passo 3

Observe que
16 - x^2 = (4 - x)(4 + x),
de modo que
raiz16-x^2x-4 = raiz(4-x)(4+x)x-4

Passo 4

Escrevendo a raiz como produto, temos
raiz4+x,raiz4-xx-4 = raiz4+x;raiz4-xx-4
Mas x-4=-(4-x), então
raiz4-xx-4 = raiz4-x-(4-x) = -1raiz4-x
Logo a expressão simplifica para
-raiz4+xraiz4-x

Passo 5

Como a raiz original exige -4<= x<=4, só podemos aproximar xto4 pela esquerda. Para xto4^-, o denominador raiz4-xto0^+ enquanto raiz4+xtoraiz8 é finito. Assim
-raiz4+xraiz4-x;longrightarrow;-infty

Resposta

limxto4raiz16-x^2x-4=-infty

Exercícios relacionados