Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é reconhecer uma série geométrica e aplicar seu critério de convergência.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral como potência de um único quociente. Observe que
Logo a série é
que é uma série geométrica de razão
.
Passo 3
Para a série geométrica convergir, precisamos de
Isso equivale a
Resolvendo a desigualdade:
Passo 4
Falta checar os extremos:
-
Em
temosx=-tfrac83 , de modo que o termo geral vira3x-1=-9
. Comol(-1r)^n não é zero, a série diverge.limntoinfty(-1)^n -
Em
temosx=tfrac103 , de modo que o termo geral vira3x-1=9
. Aqui também os termos não tendem a zero, logo diverge.1^n=1
Resposta
O intervalo de convergência é