Encontrar o intervalo de convergência das seguintes séries de potências (Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos):
sumn=1^infty (3 x-1)^n3^2 n.

Passo 1

O enunciado pede para achar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (3x-1)^n3^2n
O conteúdo aqui é reconhecer uma série geométrica e aplicar seu critério de convergência.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral como potência de um único quociente. Observe que
(3x-1)^n3^2n =(3x-13^2)^n =(3x-19)^n
Logo a série é
sumn=1^infty(3x-19)^n,
que é uma série geométrica de razão r=(3x-1)/9.

Passo 3

Para a série geométrica convergir, precisamos de
gl|3x-19gr|<1
Isso equivale a
|3x-1|<9
Resolvendo a desigualdade:
-9<3x-1<9 Longrightarrow -8<3x<10 Longrightarrow -83<x<103

Passo 4

Falta checar os extremos:
  1. Em x=-tfrac83 temos 3x-1=-9, de modo que o termo geral vira
    l(-1r)^n. Como limntoinfty(-1)^n não é zero, a série diverge.
  2. Em x=tfrac103 temos 3x-1=9, de modo que o termo geral vira
    1^n=1. Aqui também os termos não tendem a zero, logo diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(-tfrac83,,tfrac103r)

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