Determine mathscrLg(x) para
g(x)=lr0, & se x<2 x^3+1, & se x >= 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
O conteúdo aqui é o uso da função degrau unitário (u(x-2)] e da propriedade de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Escrevemos g(x) em termos de u(x-2). Para x>=2 temos g(x)=x^3+1, e para x<2 vale zero. Assim
g(x)=u(x-2)l((x)^3+1r)
Para aplicar o teorema de deslocamento queremos levar a expressão dentro do parêntese a uma função de (x-2). Fazendo t=x-2 obtemos
g(x)=u(x-2),h(x-2), h(t)=(t+2)^3+1

Passo 3

Pela propriedade de deslocamento da transformada de Laplace,
mathscrLu(x-a),h(x-a)(s) =e^-a s,mathscrLh(x)(s)
Aqui a=2, logo
mathscrLg(x)(s) =e^-2sintegral0^inftyh(t),e^-st,dt
E dado h(t)=(t+2)^3+1, expandimos:
h(t)=t^3+6t^2+12t+9

Passo 4

Então precisamos calcular
integral0^infty(t^3+6t^2+12t+9),e^-st,dt =integral0^infty t^3e^-stdt +6integral0^infty t^2e^-stdt +12integral0^infty t,e^-stdt +9integral0^infty e^-stdt

Passo 5

Usamos a fórmula mathscrLt^n(s)=dfracn!s^n+1 e mathscrL1(s)=dfrac1s. Logo:
integral0^infty t^3e^-stdt=6s^4, integral0^infty t^2e^-stdt=2s^3, integral0^infty t,e^-stdt=1s^2, integral0^infty e^-stdt=1s
Substituindo:
integral0^infty(t^3+6t^2+12t+9)e^-stdt =6s^4+6cdot2s^3+12cdot1s^2+9cdot1s =6s^4+12s^3+12s^2+9s

Passo 6

Multiplicando pelo fator e^-2s da propriedade de deslocamento, obtemos a transformada de Laplace desejada.

Resposta

mathscrLg(x)(s) =e^-2sl(6s^4+12s^3+12s^2+9sr)

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