É possível, finalmente, combinar as duas possíveis extensões da noção do integral.
Mostre que integral0^infty x^r d x nunca faz sentido. (Distinga os casos -1<r<0 e r<-1. Em um dos casos as coisas correm mal em 0 , em outro caso em infty; para r=-1 as coisas correm mal em ambos locais.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o integral impróprio
integral0^infty x^r,dx
é sempre divergente, distinguindo os casos -1<r<0, r<-1 e r=-1. O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais impróprias, que se faz separando em
integral0^infty x^r,dx ;=;integral0^1 x^r,dx ;+;integral1^infty x^r,dx,
e examinando a divergência em 0 e em infty.

Passo 2

Analisamos primeiro o trecho
integral0^1 x^r,dx ;=;limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1 x^r,dx
Para rneq -1 a antiderivada é
integral x^r,dx = x^r+1r+1,
logo
integralvarepsilon^1 x^r,dx = 1^r+1-varepsilon^r+1r+1 = 1-varepsilon^r+1r+1

Passo 3

Agora tiramos o limite varepsilonto0^+:
  • Se r>-1, então r+1>0 e varepsilon^r+1to0, logo integral0^1 x^r,dx = 1r+1(conver>=)
  • Se r<= -1, então r+1<=0 e varepsilon^r+1 ou tende a +infty (se r+1<0) ou não se define (se r+1=0), logo integral0^1 x^r,dx = +infty(diver>=)

Passo 4

Em seguida analisamos
integral1^infty x^r,dx ;=;limRtoinftyintegral1^R x^r,dx = limRtoinftyR^r+1-1r+1
Tirando o limite Rtoinfty:
  • Se r<-1, então r+1<0 e R^r+1to0, logo integral1^infty x^r,dx = -1r+1(conver>=)
  • Se r>= -1, então r+1>=0 e R^r+1toinfty, logo integral1^infty x^r,dx = +infty(diver>=)

Passo 5

Para que integral0^inftyx^r,dx convergisse, ambos os trechos teriam de convergir.
  • Se -1<r<0, então em [0,1] converge mas em [1,infty) diverge.
  • Se r<-1, então em [1,infty) converge mas em [0,1] diverge.
  • Se r=-1, diverge em ambos os extremos.

Resposta

Em nenhum valor de r os dois trechos convergem simultaneamente, logo
integral0^infty x^r,dx
é sempre divergente.

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