É possível, finalmente, combinar as duas possíveis extensões da noção do integral.
Mostre que
nunca faz sentido. (Distinga os casos
e
. Em um dos casos as coisas correm mal em 0 , em outro caso em
; para
as coisas correm mal em ambos locais.)
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o integral impróprio
é sempre divergente, distinguindo os casos
,
e
. O conteúdo aqui é o estudo de convergência de integrais impróprias, que se faz separando em
e examinando a divergência em
e em
.
Passo 2
Analisamos primeiro o trecho
Para
a antiderivada é
logo
Passo 3
Agora tiramos o limite
:
- Se
, então e , logo - Se
, então e ou tende a (se ) ou não se define (se ), logo
Passo 4
Em seguida analisamos
Tirando o limite
:
- Se
, então e , logo - Se
, então e , logo
Passo 5
Para que
convergisse, ambos os trechos teriam de convergir.
- Se
, então em converge mas em diverge. - Se
, então em converge mas em diverge. - Se
, diverge em ambos os extremos.
Resposta
Em nenhum valor de
os dois trechos convergem simultaneamente, logo
é sempre divergente.
é sempre divergente.