Calcule os limites das seguintes funções ou mostre que esse limite não existe:
lim (x, y) (0,0) 2 x y^23 x^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede calcular
lim(x,y)to(0,0) 2x y^23x^2+y^4
Este é um limite de função de duas variáveis. Para provar que o limite não existe, basta mostrar dois caminhos de aproximação a (0,0) que conduzam a valores diferentes.

Passo 2

Analisamos primeiro o caminho pelo eixo x=0. Se x=0 então
2cdot0cdot y^23cdot0^2+y^4=0,
portanto ao aproximar (0,y)to(0,0) o limite vale 0.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho
x = a,y^2, ainR
Substituindo em f(x,y)=2x y^23x^2+y^4 resulta
f(a,y^2,y) = 2,(a,y^2),y^23,(a,y^2)^2+y^4 = 2a,y^43a^2,y^4+y^4 = 2a3a^2+1
Como isso independe de y, ao fazermos yto0 o limite ao longo dessa curva é
2a3a^2+1

Passo 4

O valor tfrac2a3a^2+1 varia com a. Por exemplo:
para a=0 0,
para a=1 tfrac24=tfrac12.
Como obtemos limites diferentes ao longo de diferentes caminhos, o limite em (0,0) não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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