Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, represente-os na forma polar e geometricamente.
z=-3+3 i1+i raiz3.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número complexo z=-3+3,i1+iraiz3, encontrar o argumento arg(z), escrever z na forma polar e descrever sua posição geométrica. Isso envolve: divisão de complexos, cálculo de parte real e imaginária, módulo e argumento.

Passo 2

Para dividir por 1+iraiz3 usamos o conjugado:
z = -3+3,i1+iraiz3 cdot 1 - iraiz31 - iraiz3 = (-3+3,i)(1 - iraiz3)(1)^2 + (raiz3)^2 = (-3+3,i)(1 - iraiz3)1+3 = (-3+3,i)(1 - iraiz3)4

Passo 3

Expandindo o numerador:
(-3+3,i)(1 - iraiz3) = -3 +3,iraiz3 +3,i -3,i^2raiz3 = -3 +3,iraiz3 +3,i +3raiz3 = (-3+3raiz3) +3(1+raiz3),i
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z = -3+3raiz34 + 3(1+raiz3)4,i

Passo 4

O módulo de z é
r = |z| = raizl(-3+3raiz34r)^2 + l(3(1+raiz3)4r)^2 = 34raiz(-1+raiz3)^2 + (1+raiz3)^2 = 34raiz8 = 3raiz22

Passo 5

Como Re(z)=tfrac3(-1+raiz3)4>0 e Im(z)=tfrac3(1+raiz3)4>0, z está no primeiro quadrante. O argumento é
theta = arctan!gl(Im(z)Re(z)gr) = arctan!l(2+raiz3r) = 75^circ = 5pi12

Passo 6

Na forma polar, escrevemos
z = rl(costheta + isinthetar) = 3raiz22l(cos5pi12 + isin5pi12r)
Geometricamente, é o ponto no plano complexo que está a distância tfrac3raiz22 da origem e faz ângulo tfrac5pi12 com o eixo real positivo.

Resposta

arg(z)=5pi12
z= 3raiz22l(cos5pi12+isin5pi12r)
Geometricamente, é o ponto no primeiro quadrante a distância tfrac3raiz22 da origem, formando ângulo tfrac5pi12 com o eixo real.

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