Calcule os limites das seguintes funções ou mostre que esse limite não existe:
lim (x, y) (3,1) (x-3)(y-1)(x+y-4)(x-3)^3+(y-1)^3

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(3,1) (x-3)(y-1)(x+y-4)(x-3)^3 + (y-1)^3
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis. Vamos verificar se esse limite existe ou se depende do caminho de aproximação.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = x - 3, v = y - 1,
de modo que (x,y)to(3,1) equivale a (u,v)to(0,0). Note também que
x + y - 4 = (x-3) + (y-1) = u + v

Passo 3

Reescrevendo a expressão em u,v, temos
(x-3)(y-1)(x+y-4)(x-3)^3 + (y-1)^3 = u,v,(u+v)u^3 + v^3

Passo 4

Para investigar dependência de caminho, aproximamo-nos de (0,0) pela reta v = k,u, com k constante. Substituindo,
ucdot(k,u)cdotl(u+k,ur)u^3 + (k,u)^3 = k,u^2,(1+k),uu^3l(1 + k^3r) = k,(1+k)1 + k^3,
que independe de u mas depende de k.

Passo 5

Escolhendo k=0 e k=1, obtemos
limuto0F(u,0)=0cdot(1+0)1+0=0, limuto0F(u,u)=1cdot21+1=1
Como os valores são diferentes, o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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