Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, represente-os na forma polar e geometricamente.
z=(i1+i)^5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
z = l(i1+ir)^5,
determir seu argumento arg(z), representá-lo na forma polar e esboçar sua posição geométrica no plano complexo. Vamos usar operações algébricas com números complexos e o Teorema de De Moivre para potências em forma polar.

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração i1+i racionalizando o denominador:
i1+i = i,(1 - i)(1+i)(1 - i) = i - i^21 - i^2 = i + 12 = 1+i2

Passo 3

Agora achamos o módulo e o argumento de 1+i2.
O módulo é
r = l|tfrac1+i2r| = raiz1^2 + 1^22 = raiz22,
e o argumento de 1+i é
theta = arg(1+i) = pi4
Logo em forma polar temos
i1+i = raiz22l(costfracpi4 + isintfracpi4r)

Passo 4

Aplicamos agora o Teorema de De Moivre para elevar ao quinto:
z = l(i1+ir)^5 = l(raiz22r)^5 l[cosl(5cdottfracpi4r) + isinl(5cdottfracpi4r)r]
O módulo elevado à quinta é
l(tfracraiz22r)^5 = 2^-tfrac52 = 14raiz2 = raiz28

Passo 5

Portanto a forma polar de z é
z = raiz28 l[cosl(tfrac5pi4r) + isinl(tfrac5pi4r)r]
O argumento principal fica
arg(z) = 5pi4
Se quisermos o argumento no intervalo (-pi,pi], podemos subtrair 2pi:
arg(z) = 5pi4 - 2pi = -3pi4

Passo 6

Na geometria do plano complexo, z é o ponto de módulo raiz28 e direção 5pi4 (225°), ou seja, no 3º quadrante, com coordenadas
x = raiz28cosl(tfrac5pi4r) = -tfrac18, y = raiz28sinl(tfrac5pi4r) = -tfrac18

Resposta

Argumento: arg(z)=tfrac5pi4 (ou -tfrac3pi4 como principal em (-pi,pi]).
Forma polar:
z = raiz28l(costfrac5pi4 + isintfrac5pi4r)
Geometricamente, é o vetor de comprimento raiz28 no ângulo 225^circ apontando para (-1/8,,-1/8).

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