Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, represente-os na forma polar e geometricamente. .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
determir seu argumento , representá-lo na forma polar e esboçar sua posição geométrica no plano complexo. Vamos usar operações algébricas com números complexos e o Teorema de De Moivre para potências em forma polar.
Passo 2
Primeiro simplificamos a fração racionalizando o denominador:
Passo 3
Agora achamos o módulo e o argumento de .
O módulo é
e o argumento de 1+i é
theta = arg(1+i) = pi4
Logo em forma polar temos
i1+i = raiz22l(costfracpi4 + isintfracpi4r)
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema de De Moivre para elevar ao quinto:
z = l(i1+ir)^5 = l(raiz22r)^5 l[cosl(5cdottfracpi4r) + isinl(5cdottfracpi4r)r]
O módulo elevado à quinta é
l(tfracraiz22r)^5 = 2^-tfrac52 = 14raiz2 = raiz28
Passo 5
Portanto a forma polar de z é
z = raiz28 l[cosl(tfrac5pi4r) + isinl(tfrac5pi4r)r]
O argumento principal fica
arg(z) = 5pi4
Se quisermos o argumento no intervalo (-pi,pi], podemos subtrair 2pi:
arg(z) = 5pi4 - 2pi = -3pi4
Passo 6
Na geometria do plano complexo, z é o ponto de módulo raiz28 e direção 5pi4 (225°), ou seja, no 3º quadrante, com coordenadas
x = raiz28cosl(tfrac5pi4r) = -tfrac18, y = raiz28sinl(tfrac5pi4r) = -tfrac18
Resposta
Argumento: arg(z)=tfrac5pi4 (ou -tfrac3pi4 como principal em (-pi,pi]).
Forma polar:
z = raiz28l(costfrac5pi4 + isintfrac5pi4r)
Geometricamente, é o vetor de comprimento raiz28 no ângulo 225^circ apontando para (-1/8,,-1/8).