Vamos resolver a inequação:
|2-x| <= 1-x^2|x|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|2 - x| <= 1 - x^2|x|
com a incógnita x. O conteúdo necessário inclui manipulação de valores absolutos e resolução de inequações por análise de casos, além de identificar o domínio de definição.

Passo 2

Primeiro, notamos que o denominador |x| exige x neq 0. Além disso, como |2-x|>=0, para a desigualdade poder valer precisamos que o lado direito seja não negativo:
1 - x^2|x| >= 0 Longrightarrow 1 - x^2 >= 0 Longrightarrow -1 <= x <= 1
Assim o domínio relevante é
x in (-1,0);cup;(0,1]

Passo 3

Caso x>0 (logo xin(0,1]):
|2 - x| = 2 - x, |x| = x,
a inequação fica
2 - x <= 1 - x^2x
Multiplicando ambos os lados por x>0
x(2 - x) <= 1 - x^2 Longrightarrow 2x - x^2 <= 1 - x^2 Longrightarrow 2x <= 1 Longrightarrow x <= tfrac12
Concluímos para x>0 a solução
0 < x <= tfrac12

Passo 4

Caso x<0 (logo xin[-1,0)):
|2 - x| = 2 - x, |x| = -x,
então a inequação
2 - x <= 1 - x^2-x
Como -x>0, multiplicamos por -x:
(-x)(2 - x) <= 1 - x^2 Longrightarrow -2x + x^2 <= 1 - x^2 Longrightarrow 2x^2 - 2x - 1 <= 0
As raízes de 2x^2 - 2x - 1 = 0 são
x = 1 pm raiz1 + 22 = 1 pm raiz32
Como a parábola abre para cima, temos
1 - raiz32 ;<=; x ;<=;1 + raiz32
Intersectando com xin[-1,0) sobra
1 - raiz32 ;<=; x ;<;0

Passo 5

Unindo os dois casos e lembrando xneq0, a solução final é
x in l[1 - raiz32,,0r);cup;(0,,tfrac12]

Resposta

boxedx in l[tfrac1 - raiz32,,0r);cup;(0,,tfrac12]

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