Calcule os limites seguintes:
(a) lim (x, y) (0,0) x^3 arctan (y+3)x^2+y^2
(b) lim (x, y) (0^+, 0^+) raizx y^2+y^3-x y^3x^2+y^2
(c) lim (x, y) (0,0) x^2 raizyraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites de funções de duas variáveis em pontos que se aproximam de (0,0) (ou de (0^+,0^+) no caso (b)). O conteúdo envolve técnicas de comparação por desigualdades e uso de coordenadas polares para mostrar que cada expressão tende a zero.

Passo 2

Para (a) lim(x,y)to(0,0) x^3,arctan(y+3)x^2+y^2:
Como arctan é contínua, existe M>0 tal que l|arctan(y+3)r|<= M perto de (0,0). Além disso
x^2+y^2;>=;x^2,
logo
l|x^3,arctan(y+3)x^2+y^2r| ;<=; |x|^3,Mx^2 = M,|x|;xrightarrow[xto0];0
Isso mostra que o limite é 0.

Passo 3

Para (b) lim(x,y)to(0^+,0^+) raizx y^2+y^3-x y^3x^2+y^2:
Em coordenadas polares com x=rcostheta, y=rsintheta e thetain[0,tfracpi2], o numerador dentro da raiz é
x y^2+y^3-x y^3 = r^3l(sin^2thetacostheta+sin^3theta -rcostheta,sin^3thetar),
e o denominador é r^2. Assim a expressão fica
raizr^3(cdots)r^2 =raiz,r,l(sin^2thetacostheta+sin^3theta-rcosthetasin^3thetar),
Como sin^2thetacostheta+sin^3theta é limitada e rto0, o interior da raiz tende a zero, logo o limite é 0.

Passo 4

Para (c) lim(x,y)to(0,0) x^2raizyraizx^2+y^2:
Também usamos coordenadas polares com y>=0. Então
x^2raizy = r^2cos^2theta;raiz,rsintheta, = r^5/2cos^2thetaraizsintheta,
e raizx^2+y^2=r. Assim
x^2raizyraizx^2+y^2 = r^3/2cos^2thetaraizsintheta ;xrightarrow[rto0];0
pois r^3/2to0 uniformemente em theta.

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) 0

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