Determine as derivadas parciais de segunda ordem (fx x, fx y e fy y).
f(x, y)=x yx-y

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x,yx-y
e pede as derivadas parciais de segunda ordem ,fxx, fxy e fyy.
Para isso, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do quociente e, em seguida, aplicar regra da cadeia e do produto para chegar às segundas.

Passo 2

Calcular fx pelo quociente: seja
N(x,y)=x,y, D(x,y)=x-y
Então,
Nx=partialpartial x(x,y)=y, Dx=partialpartial x(x-y)=1,
e pela regra do quociente
fx=Nx,D - N,DxD^2 =y,(x-y)-x,ycdot1(x-y)^2 =-y^2(x-y)^2

Passo 3

Calcular fy pelo quociente:
Ny=partialpartial y(x,y)=x, Dy=partialpartial y(x-y)=-1,
logo
fy=Ny,D - N,DyD^2 =x,(x-y)-x,ycdot(-1)(x-y)^2 =x^2(x-y)^2

Passo 4

Agora fxx=partial(fx)/partial x. Como
fx=-y^2,(x-y)^-2,
aplicamos a regra da potência e a cadeia em xmapsto(x-y):
fxx =-y^2cdot(-2),(x-y)^-3cdot1 =2,y^2(x-y)^3

Passo 5

Para fxy=partial(fx)/partial y, derivamos
fx=-y^2,(x-y)^-2
em relação a y. Usamos produto e cadeia:
partialpartial y(-y^2)=(-2y), partialpartial y(x-y)^-2=-2,(x-y)^-3cdot(-1)=2,(x-y)^-3
Logo
fxy =-2y,(x-y)^-2 +(-y^2)cdot 2,(x-y)^-3 =-2y,(x-y)+2y^2(x-y)^3 =-2xy+4y^2(x-y)^3

Passo 6

Finalmente fyy=partial(fy)/partial y. Como
fy=x^2,(x-y)^-2,
temos apenas regra da potência e cadeia:
fyy =x^2cdot(-2),(x-y)^-3cdot(-1) =2,x^2(x-y)^3

Resposta

fxx(x,y)=2,y^2(x-y)^3, fxy(x,y)=-2x,y+4y^2(x-y)^3, fyy(x,y)=2,x^2(x-y)^3

Exercícios relacionados