Calcule os limites seguintes:
(a) lim (x, y) (1,2)(2 x y+x^2-xy)
(b) lim (x, y) (0,0) raizx-1x^2 y^2+x y-1
(c) lim (x, y) (0,0)(raizx^2+1-raizx y)
(d) lim (x, y) (infty, infty)(1x+y-10)

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites de funções de duas variáveis. O conteúdo principal é a propriedade de continuidade de somas, produtos, quocientes e raízes, além do comportamento de funções racional e de radicais perto de pontos finitos ou no infinito. Vamos usar a ideia de que, sempre que a expressão for contínua na vizinhança do ponto de interesse (e o denominador não for zero nem a raiz ficar fora do domínio), basta substituir diretamente.

Passo 2

(a) A função
é combinação de operações contínuas em sempre que . Como satisfaz , podemos usar continuidade e obter

Passo 3

(b) Considere
g(x,y)=raizx-1x^2y^2 + xy -1
Perto de (0,0), temos x-1approx -1 e x^2y^2+xy-1approx -1, de modo que a fração tende a tfrac-1-1=1. Como a raiz quadrada é contínua em (0,infty) e, para (x,y) suficientemente próximo de (0,0), o argumento fica positivo, segue
lim(x,y)to(0,0)g(x,y) =raiz1 =1

Passo 4

(c) A expressão
h(x,y)=raizx^2+1-raizxy
é a diferença de duas funções contínuas no domínio onde xy>=0. Ao aproximar (x,y)to(0,0) dentro desse domínio temos raizx^2+1to1 e raizxyto0. Logo,
lim(x,y)to(0,0)h(x,y) =1-0 =1

Passo 5

(d) Por fim,
k(x,y)=1x+y-10
Quando (x,y)to(infty,infty), o termo tfrac1x+y tende a 0, pois o denominador cresce sem limite. Portanto,
lim(x,y)to(infty,infty)k(x,y) =0-10 =-10

Resposta

(a) tfrac92
(b) 1
(c) 1
(d) -10

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