Inverta a ordem de integração e calcule seu valor em

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
I=integral0^1integralraizy/2^raizye^x^3,dx,dy ;+; integral1^4integralraizy/2^1e^x^3,dx,dy
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo envolvido é interpretar geometricamente a região de integração no plano (x,y), trocar os limites (Teorema de Fubini) e usar uma substituição simples para avaliar a integral em x.

Passo 2

Vamos descrever a região RsubsetR^2 dada pela união de
R1=(x,y)mid 0<= y<=1,;tfracraizy2<= x<=raizy
e
R2=(x,y)mid 1<= y<=4,;tfracraizy2<= x<=1
Elevando ao quadrado, vemos que em ambas as partes y/4<= x^2<=min(y,1). Projetando em x, obtemos 0<= x<=1.

Passo 3

Para um x fixo em [0,1], os valores de y que satisfazem
tfracraizy2<= x<=raizy ou tfracraizy2<= x<=1 vão de
ymin=x^2 até ymax=4x^2, é
pois para x<=1/2 fica tudo em 0<= y<=1 e para x>=1/2 o trecho se estende até y=4x^2<=4.

Passo 4

Reescrevemos então
I=integralx=0^1integraly=x^2^4x^2e^x^3,dy,dx

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
integraly=x^2^4x^2e^x^3,dy =(4x^2 - x^2),e^x^3 =3x^2,e^x^3
Logo
I=integral0^13x^2,e^x^3,dx

Passo 6

Fazemos a substituição ,u=x^3, de forma que du=3x^2,dx. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
I=integralu=0^1e^u,du =l[e^ur]0^1 =e-1

Resposta

e-1

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