Inverta a ordem de integração e calcule seu valor em
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração em
e depois calcular o valor numérico. O conteúdo envolvido é interpretar geometricamente a região de integração no plano
, trocar os limites (Teorema de Fubini) e usar uma substituição simples para avaliar a integral em
.
Passo 2
Vamos descrever a região
dada pela união de
e
Elevando ao quadrado, vemos que em ambas as partes
. Projetando em
, obtemos
.
Passo 3
Para um
fixo em
, os valores de
que satisfazem
ou
vão de
pois para
fica tudo em
e para
o trecho se estende até
.
Passo 4
Reescrevemos então
Passo 5
Calculamos primeiro a integral em
:
Logo
Passo 6
Fazemos a substituição
, de forma que
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim