Calcule os limites seguintes
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^{2}+|x|^{3}}-|x|}{x} .

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x^{2}+|x|^{3}} - |x|}{x}.
O conteúdo aqui envolve limites laterais e a definição de valor absoluto |x|. Vamos estudar separadamente as aproximações pela direita x>0 e pela esquerda x<0.

Passo 2

Para x>0 temos |x|=x. Então
\sqrt{x^{2}+|x|^{3}}=\sqrt{x^{2}+x^{3}}=x\sqrt{1+x},
e a expressão torna-se
\frac{x\sqrt{1+x}-x}{x} =\sqrt{1+x}-1.
Tomando x\to0^+,
\lim_{x\to0^+}\bigl(\sqrt{1+x}-1\bigr)=\sqrt{1+0}-1=0.

Passo 3

Para x<0 temos |x|=-x. Logo
\sqrt{x^{2}+|x|^{3}} =\sqrt{x^{2}+(-x)^{3}} =\sqrt{x^{2}-x^{3}} =\sqrt{x^{2}(1-x)} =-x\sqrt{1-x},
pois -x>0. O numerador fica
-\,x\sqrt{1-x}-(-x) =x\bigl(1-\sqrt{1-x}\bigr),
e dividido por x 1-\sqrt{1-x}. Ao aproximar x\to0^-,
\lim_{x\to0^-}\bigl(1-\sqrt{1-x}\bigr)=1-\sqrt{1-0}=0.

Passo 4

As duas “metades” do limite tendem ao mesmo valor 0. Portanto o limite existe.

Resposta

0

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