Calcule os limites seguintes
\lim _{x \rightarrow 0} x e^{-|1 / x|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} x\,e^{-|1/x|}.
O conteúdo é análise de limites envolvendo função exponencial com decaimento rápido. Vamos explorar o comportamento de e^{-|1/x|} quando x\to0.

Passo 2

Para estudar o limite, note que o expoente -|1/x| tende a -\infty quando x\to0. Primeiro, analisamos o valor absoluto do produto:
\bigl|x\,e^{-|1/x|}\bigr| = |x|\;e^{-1/|x|}.

Passo 3

Fazemos a substituição auxiliar
t = \frac{1}{|x|},
de modo que t\to+\infty quando x\to0. Então
|x| = \frac{1}{t} \quad\text{e}\quad e^{-1/|x|} = e^{-t}.
Assim,
\bigl|x\,e^{-|1/x|}\bigr| = \frac{1}{t}\,e^{-t}.

Passo 4

Sabemos que a função e^{-t} decai mais rápido que qualquer potência de t. Logo,
\lim_{t\to+\infty} \frac{1}{t}\,e^{-t} = 0.
Isso implica que \bigl|x\,e^{-|1/x|}\bigr|\to0 quando x\to0.

Passo 5

Como o valor absoluto tende a zero, o próprio produto também tende a zero:
\lim_{x\to0} x\,e^{-|1/x|} = 0.

Resposta

0

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