Calcule os limites seguintes
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{3}}-1}{\sqrt{|x|}} .

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^3}-1}{\sqrt{\lvert x\rvert}}.
O conteúdo aqui é usar equivalentes de funções infinitesimais perto de x=0, ou seja, aproximar \sqrt{1+t} por sua expansão para t pequeno.

Passo 2

Para t próximo de zero vale a expansão de Taylor de ordem 1 da raiz quadrada:
\sqrt{1+t}=1+\frac{t}{2}+o(t).
Tomando t=x^3, temos
\sqrt{1+x^3}-1 = \frac{x^3}{2} + o(x^3).

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
\frac{\sqrt{1+x^3}-1}{\sqrt{\lvert x\rvert}} = \frac{\frac{x^3}{2}+o(x^3)}{\lvert x\rvert^{1/2}} = \frac{x^3}{2\,\lvert x\rvert^{1/2}} + \frac{o(x^3)}{\lvert x\rvert^{1/2}}.
Repare que
\frac{x^3}{\lvert x\rvert^{1/2}} =\begin{cases} x^{5/2},&x>0,\\\\ -\,\lvert x\rvert^{5/2},&x<0, \end{cases}
e \tfrac{o(x^3)}{\lvert x\rvert^{1/2}}=o\bigl(\lvert x\rvert^{5/2}\bigr).

Passo 4

Como x^{5/2}\to0 e \lvert x\rvert^{5/2}\to0 quando x\to0, o quociente inteiro tende a zero, tanto pela direita quanto pela esquerda.

Resposta

0

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