Calcule os limites seguintes:
lim x 1 sen(x^2-1)x^2+x-2

Passo 1

Tranquilo, o exercício pede calcular
limxto1sin(x^2-1)x^2+x-2
Se fizermos x=1 direto, o numerador vira sin(0)=0 e o denominador 1+1-2=0, ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar o limite fundamental
limuto0sin(u)u=1
e fatoração de expressões algébricas.

Passo 2

Fatoramos o denominador e o argumento do seno:
x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2),
x^2 - 1 = (x-1)(x+1)
Então a expressão fica
sin(x^2-1)x^2+x-2 = sin((x-1)(x+1))(x-1)(x+2)
Agora reescrevemos de modo a usar o limite fundamental:
sin((x-1)(x+1))(x-1)(x+2) = sin((x-1)(x+1))(x-1)(x+1);cdot;x+1x+2

Passo 3

Quando xto1, o produto (x-1)(x+1)to0. Logo, pelo limite fundamental,
limxto1sin((x-1)(x+1))(x-1)(x+1) = 1

Passo 4

Falta só calcular
limxto1x+1x+2 = 1+11+2 = 23
Multiplicando pelos fatores, o limite original vale
1 times 23 = 23

Resposta

23

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