Derive as seguintes funções:
(c) (10 pontos) f(x)=x^3-2 x+12(x^2+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^3-2x+12l(x^2+3r)
O conteúdo é derivação de quociente de funções, usando a regra do quociente e fatores constantes.

Passo 2

Observe que há um fator constante tfrac12. Podemos escrever
f(x)=tfrac12,g(x), onde g(x)=x^3-2x+1x^2+3

Passo 3

Vamos derivar g(x)=dfracu(x)v(x) com
u(x)=x^3-2x+1, u'(x)=3x^2-2,
v(x)=x^2+3, v'(x)=2x
Pela regra do quociente,
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(3x^2-2)(x^2+3)-(x^3-2x+1)(2x)(x^2+3)^2

Passo 4

Calculemos o numerador de g'(x):
(3x^2-2)(x^2+3) =3x^4+9x^2-2x^2-6 =3x^4+7x^2-6,
(x^3-2x+1)(2x) =2x^4-4x^2+2x
Subtraindo,
(3x^4+7x^2-6)-(2x^4-4x^2+2x) =x^4+11x^2-2x-6
Logo
g'(x) =x^4+11x^2-2x-6(x^2+3)^2

Passo 5

Como f(x)=tfrac12,g(x), temos
f'(x)=tfrac12,g'(x) =x^4+11x^2-2x-62,(x^2+3)^2

Resposta

f'(x) =x^4+11x^2-2x-62,(x^2+3)^2

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