Derive as seguintes funções:
(b) (10 pontos) f(x)=(e^x+x-1)(tg x-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x) = l(e^x + x - 1r),l(tgx - xr)
O conteúdo aqui é a regra do produto e o conhecimento das derivadas de e^x, de x e de tgx.

Passo 2

Definimos
u(x) = e^x + x - 1
e
v(x) = tgx - x,
de modo que f(x)=u(x),v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Sabendo que l(e^xr)'=e^x, l(xr)'=1 e a derivada de constante é zero, temos
u'(x) = e^x + 1

Passo 4

Calculamos v'(x). Sabendo que l(tgxr)'=sec^2x e l(-xr)'=-1, vem
v'(x) = sec^2x - 1

Passo 5

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Substituindo u, u', v e v',
f'(x) = l(e^x+1r),(tgx - x) + l(e^x+x-1r),(sec^2x - 1)

Passo 6

Usando a identidade sec^2x - 1 = tg^2x, podemos escrever
f'(x) = l(e^x+1r),(tgx - x) + l(e^x+x-1r),tg^2x

Resposta

f'(x) = l(e^x+1r),(tgx - x) + l(e^x+x-1r),tg^2x

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