Calcule os limites a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o exercício dá:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O ponto de aproximação é
.
Verificação direta (substituição):
Portanto obtemos a forma indeterminada
. A resolução real começa no Passo 2.
Passo 2
Quando aparece
numa razão de polinômios, o caminho mais simples é fatorar numerador e denominador e tentar cancelar o fator comum responsável pela indeterminação. Vou fatorar primeiro o numerador
.
Para fatorar um quadrático
pode-se usar a fórmula das raízes:
onde
,
e
são os coeficientes do quadrático.
Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
As raízes são
Logo as raízes são
e
. Assim o quadrático se fatoriza como
(Verificação rápida:
.)
Passo 3
Agora fatoro o denominador
. Uma técnica útil é agrupar termos:
Colocando em evidência:
Reconhece-se
como diferença de quadrados:
Portanto
Passo 4
Agora escrevo a razão factorizada:
Para
podemos cancelar o fator comum
, pois é um fator que anula numerador e denominador apenas no ponto
. Como o limite considera valores de
que se aproximam de
mas não necessariamente iguais a
, essa simplificação é válida para o cálculo do limite. Após o cancelamento obtemos a função equivalente em qualquer ponto próximo a
, exceto em
:
Passo 5
A função simplificada
é uma razão de polinômios que é contínua em
. Então o limite é obtido substituindo
:
Observação rápida e motivadora: outra alternativa seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria o mesmo resultado, mas fatorar é mais direto e exige apenas álgebra básica — ótimo para prova sem calculadora.