Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x^{2}-7 x+3}{x^{3}+x^{2}-9 x-9};

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3} \frac{2x^{2}-7x+3}{x^{3}+x^{2}-9x-9}.
Informações relevantes que o exercício dá:
  • Numerador: 2x^{2}-7x+3.
  • Denominador: x^{3}+x^{2}-9x-9.
  • O ponto de aproximação é x\to 3.
Verificação direta (substituição):
2\cdot 3^{2}-7\cdot 3+3 = 18-21+3 = 0,
3^{3}+3^{2}-9\cdot 3-9 = 27+9-27-9 = 0.
Portanto obtemos a forma indeterminada 0/0. A resolução real começa no Passo 2.

Passo 2

Quando aparece 0/0 numa razão de polinômios, o caminho mais simples é fatorar numerador e denominador e tentar cancelar o fator comum responsável pela indeterminação. Vou fatorar primeiro o numerador 2x^{2}-7x+3.
Para fatorar um quadrático ax^{2}+bx+c pode-se usar a fórmula das raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes do quadrático.
Aqui a=2, b=-7, c=3. Calculo o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 3 = 49-24=25.
As raízes são
x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{7\pm 5}{4}.
Logo as raízes são x=3 e x=\dfrac{1}{2}. Assim o quadrático se fatoriza como
2x^{2}-7x+3 = (x-3)(2x-1).
(Verificação rápida: (x-3)(2x-1)=2x^{2}-x-6x+3=2x^{2}-7x+3.)

Passo 3

Agora fatoro o denominador x^{3}+x^{2}-9x-9. Uma técnica útil é agrupar termos:
x^{3}+x^{2}-9x-9 = (x^{3}+x^{2}) + (-9x-9).
Colocando em evidência:
= x^{2}(x+1) -9(x+1) = (x+1)(x^{2}-9).
Reconhece-se x^{2}-9 como diferença de quadrados:
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).
Portanto
x^{3}+x^{2}-9x-9 = (x+1)(x-3)(x+3).

Passo 4

Agora escrevo a razão factorizada:
\frac{2x^{2}-7x+3}{x^{3}+x^{2}-9x-9} = \frac{(x-3)(2x-1)}{(x+1)(x-3)(x+3)}.
Para x\neq 3 podemos cancelar o fator comum (x-3), pois é um fator que anula numerador e denominador apenas no ponto x=3. Como o limite considera valores de x que se aproximam de 3 mas não necessariamente iguais a 3, essa simplificação é válida para o cálculo do limite. Após o cancelamento obtemos a função equivalente em qualquer ponto próximo a 3, exceto em 3:
\frac{(x-3)(2x-1)}{(x+1)(x-3)(x+3)} = \frac{2x-1}{(x+1)(x+3)}\quad\text{para }x\neq 3.

Passo 5

A função simplificada \dfrac{2x-1}{(x+1)(x+3)} é uma razão de polinômios que é contínua em x=3. Então o limite é obtido substituindo x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{2x-1}{(x+1)(x+3)} = \frac{2\cdot 3-1}{(3+1)(3+3)} = \frac{6-1}{4\cdot 6} = \frac{5}{24}.
Observação rápida e motivadora: outra alternativa seria aplicar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador), que também daria o mesmo resultado, mas fatorar é mais direto e exige apenas álgebra básica — ótimo para prova sem calculadora.

Resposta

\dfrac{5}{24}

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