Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} a x}{\operatorname{sen} b x}, b \neq 0

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{\sin(b x)}, com b\neq 0.
O conteúdo usado será o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aplicar o limite fundamental:
\frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} = \frac{\sin(a x)}{a x} \;\cdot\; \frac{a x}{b x} \;\cdot\; \frac{b x}{\sin(b x)} = \frac{a}{b}\,\frac{\sin(a x)/(a x)}{\sin(b x)/(b x)}.

Passo 3

Quando x\to 0, vale \sin(a x)/(a x)\to1 e \sin(b x)/(b x)\to1.
Portanto,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(a x)}{\sin(b x)} = \frac{a}{b}\,\frac{1}{1} = \frac{a}{b}.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{b}

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