Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} a x}{\operatorname{sen} b x}, b \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(ax)}{\operatorname{sen}(bx)}
usando o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a fração de modo a aparecerem fatores da forma \sin u/u. Observamos que
\frac{\operatorname{sen}(ax)}{\operatorname{sen}(bx)} =\frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax}\cdot\frac{ax}{bx}\cdot\frac{bx}{\operatorname{sen}(bx)} \;=\;\frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax}\;\cdot\;\frac{a}{b}\;\cdot\;\frac{bx}{\operatorname{sen}(bx)}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada fator separadamente:
  • Como x\to0, \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax}\to1 pelo limite fundamental com u=ax.
  • Como x\to0, \displaystyle\frac{bx}{\operatorname{sen}(bx)}\to1 pelo mesmo limite com u=bx.
  • O fator \displaystyle\frac{a}{b} é constante e permanece \displaystyle\frac{a}{b}.

Passo 4

Multiplicando os limites parciais, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(ax)}{\operatorname{sen}(bx)} =1\cdot\frac{a}{b}\cdot1 =\frac{a}{b}.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{b}

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