Calcule os limites a seguir:
c) lim x 0^+[x^3(4-cos x^-2)+e^xx]

Passo 1

A questão pede o limite quando x→0⁺ de x³(4–cos x⁻²)+eˣ/x; o conteúdo envolve limites de funções elementares, uso do teorema do confronto (para x³·(4–cos)) e análise de comportamento de eˣ/ x.

Passo 2

Para o termo x³(4–cos x⁻²) usamos que –1≤cos x⁻²≤1, logo 3≤4–cos x⁻²≤5. Multiplicando por x³>0 obtemos 3x³≤x³(4–cos x⁻²)≤5x³. Como x→0⁺ implica x³→0, o teorema do confronto dá
limxto0^+x^3(4-cos x^-2)=0

Passo 3

Para o termo eˣ/x note que para x→0⁺ temos eˣ≈1+x+… e, portanto, eˣ/x≈1/x+1+… . Como 1/x→+∞ quando x→0⁺, conclui-se que
limxto0^+e^xx=+infty

Passo 4

Somando os resultados dos dois termos: 0 + (+∞) = +∞. Portanto, o limite original diverge para infinito positivo.

Resposta

(+\infty)

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