Determine e classifique os extremos relativos de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa encontrar e classificar os extremos relativos dessa função. Extreme relativos são pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos), precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar as coordenadas
dos pontos críticos:
Passo 4
Resolvendo a equação (1) para
:
Agora, substituímos
na equação (2):
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Passo 6
Com os valores de
, podemos encontrar os correspondentes valores de
usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
Passo 8
Calculamos o discriminante
para cada ponto crítico:
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto é um mínimo relativo.
Para o ponto
:
Como
, o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo.
Resposta
A função
possui:
- Um mínimo relativo no ponto
. - Um ponto de sela no ponto
.