Determine e classifique os extremos relativos de f(x, y)=x^2-4 x y+y^3+4 y.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa encontrar e classificar os extremos relativos dessa função. Extreme relativos são pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir extremos), precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a fx = partial fpartial x = 2x - 4y e fy = partial fpartial y = -4x + 3y^2 + 4 e igualá-las a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar as coordenadas 2x - 4y = 0 (1) dos pontos críticos:
-4x + 3y^2 + 4 = 0 (2)

Passo 4

Resolvendo a equação (1) para 2x = 4y Rightarrow x = 2y :
-4(2y) + 3y^2 + 4 = 0
Agora, substituímos -8y + 3y^2 + 4 = 0 na equação (2):
3y^2 - 8y + 4 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática y = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 3 cdot 42 cdot 3 = 8 pm raiz64 - 486 = 8 pm raiz166 usando a fórmula de Bhaskara:
y = 8 pm 46
y1 = 126 = 2 e y2 = 46 = 23
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 6

Com os valores de x = 2 cdot 2 = 4 , podemos encontrar os correspondentes valores de x = 2 cdot 23 = 43 usando :
Para :
Para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o Teste da Segunda Derivada. Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -4
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y

Passo 8

Calculamos o discriminante D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 para cada ponto crítico:
fyy = 6 cdot 2 = 12
Para o ponto D = 2 cdot 12 - (-4)^2 = 24 - 16 = 8 :
fyy = 6 cdot 23 = 4
D = 2 cdot 4 - (-4)^2 = 8 - 16 = -8
Como e , o ponto é um mínimo relativo.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem máximo nem mínimo.

Resposta

A função possui:
  • Um mínimo relativo no ponto .
  • Um ponto de sela no ponto .

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