Calcule os limites a seguir, deixando claro o uso das propriedades do limite.

Passo 1

O enunciado pede limxto0^+xcosl(sen(1/x)r).
Conteúdo: limites de funções, uso do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) e propriedades de limite de produto. Vamos mostrar que cos(sen(1/x)) é uma função limitada e em seguida usar que xto0 anula o produto.

Passo 2

Sabemos que, para todo tinR,
-1<=cos(t)<=1
Em particular, tomando t=sen(1/x), vale
-1<=cosl(sen(1/x)r)<=1

Passo 3

Como x>0 (estamos em xto0^+), multiplicamos a desigualdade por x, obtendo
-x<= xcosl(sen(1/x)r)<= x

Passo 4

As funções de contorno satisfazem
limxto0^+(-x)=0 e limxto0^+x=0
Pelo Teorema do Confronto, segue
limxto0^+xcosl(sen(1/x)r)=0

Resposta

0

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