Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão cujo limite precisa ser calculado é a função polinomial
. - O valor para o qual
tende é .
Passo 2
Plano de resolução e propriedades que usarei (explicadas de forma simples):
- Propriedade da linearidade (soma/diferença): o limite da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) dos limites, quando todos os limites existem. Em forma matemática:
- Propriedade do múltiplo constante: uma constante pode sair do limite:
onde
é constante.
- Propriedade da potência (quando a potência é inteira positiva): o limite de
é , isto é
- Limite de constante: se
é constante, então .
Estas são regras básicas que permitem reduzir o cálculo do limite a operações algébricas simples.
Passo 3
Aplicando a linearidade do limite à expressão inteira (dividindo em três termos):
Aqui usei a propriedade da soma/diferença de limites.
Passo 4
Calcular
.
Pelo fato de ser constante, aplico a propriedade do múltiplo constante:
Pelo fato de
Agora uso a propriedade da potência:
Como
, segue
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Usando a propriedade do múltiplo constante:
Usando a propriedade do múltiplo constante:
Como esse termo aparece com sinal negativo na expressão original, ele contribuirá com
.
Passo 6
Calcular
.
Aqui é constante, então
Aqui
Passo 7
Combinar os resultados usando a propriedade da soma/diferença:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 8
Comentário rápido (atalho que costuma ser usado na prova): polinômios são funções contínuas, então para qualquer polinômio
vale
. Aqui isso daria diretamente
, resultado igual ao encontrado com as propriedades anteriores. Força aí — você já chegou!