Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 4}\left(5 x^{2}-2 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 4}\left(5x^{2}-2x+3\right).
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite precisa ser calculado é a função polinomial f(x)=5x^{2}-2x+3.
  • O valor para o qual x tende é x=4.

Passo 2

Plano de resolução e propriedades que usarei (explicadas de forma simples):
  • Propriedade da linearidade (soma/diferença): o limite da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) dos limites, quando todos os limites existem. Em forma matemática:
\lim_{x\to a} (u(x)\pm v(x)) = \lim_{x\to a} u(x) \pm \lim_{x\to a} v(x).
  • Propriedade do múltiplo constante: uma constante pode sair do limite:
\lim_{x\to a} c\cdot u(x) = c\cdot \lim_{x\to a} u(x),
onde c é constante.
  • Propriedade da potência (quando a potência é inteira positiva): o limite de u(x)^n é (\lim u(x))^n, isto é
\lim_{x\to a} (u(x))^{n} = \left(\lim_{x\to a} u(x)\right)^{n}.
  • Limite de constante: se c é constante, então \lim_{x\to a} c = c.
    Estas são regras básicas que permitem reduzir o cálculo do limite a operações algébricas simples.

Passo 3

Aplicando a linearidade do limite à expressão inteira (dividindo em três termos):
\lim_{x\to 4}\left(5x^{2}-2x+3\right) = \lim_{x\to 4}5x^{2}\;-\;\lim_{x\to 4}2x\;+\;\lim_{x\to 4}3.
Aqui usei a propriedade da soma/diferença de limites.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 4}5x^{2}.
Pelo fato de 5 ser constante, aplico a propriedade do múltiplo constante:
\lim_{x\to 4}5x^{2} = 5\cdot \lim_{x\to 4}x^{2}.
Agora uso a propriedade da potência:
\lim_{x\to 4}x^{2} = \left(\lim_{x\to 4}x\right)^{2}.
Como \lim_{x\to 4}x = 4, segue
\lim_{x\to 4}x^{2} = 4^{2} = 16.
Portanto
\lim_{x\to 4}5x^{2} = 5\cdot 16 = 80.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 4}2x.
Usando a propriedade do múltiplo constante:
\lim_{x\to 4}2x = 2\cdot \lim_{x\to 4}x = 2\cdot 4 = 8.
Como esse termo aparece com sinal negativo na expressão original, ele contribuirá com -8.

Passo 6

Calcular \lim_{x\to 4}3.
Aqui 3 é constante, então
\lim_{x\to 4}3 = 3.

Passo 7

Combinar os resultados usando a propriedade da soma/diferença:
\lim_{x\to 4}\left(5x^{2}-2x+3\right) = 80 - 8 + 3.
Fazendo as contas passo a passo:
80 - 8 = 72,
72 + 3 = 75.

Passo 8

Comentário rápido (atalho que costuma ser usado na prova): polinômios são funções contínuas, então para qualquer polinômio p(x) vale \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Aqui isso daria diretamente p(4)=5\cdot4^{2}-2\cdot4+3=75, resultado igual ao encontrado com as propriedades anteriores. Força aí — você já chegou!

Resposta

75

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