Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos\n
- Pede-se calcular o limite
.\n - Informação explícita: o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinômio .\n - Observação importante (apenas identificação, sem resolver ainda): se substituirmos
diretamente, obtemos uma forma indeterminada porque
ou seja, a forma é
.
Passo 2
Aplicar a propriedade de continuidade de polinômios para testar substituição direta (propriedade usada: continuidade de polinômios e limite por substituição)\n
- Teoria curta: todo polinômio é contínuo em
, então para qualquer polinômio e ponto .\n - Tentativa: calcular separadamente
- Conclusão: a substituição direta dá
, ou seja, forma indeterminada; portanto não podemos concluir o valor do limite por simples substituição. É preciso manipular a expressão.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão (propriedade usada: fatoração de polinômios e igualdade algébrica)\n
- Lembrando como fatorar: diferença de quadrados e fatoração de trinômio quadrático.\n
- Fatorações:
- Logo a função pode ser reescrita, para
, como
- Observação sobre a propriedade usada na simplificação: cancelou-se o fator
que é comum a numerador e denominador — essa cancelação é válida apenas para . Porém, duas funções que são iguais em todo ponto de uma vizinhança de excluindo possivelmente têm o mesmo limite quando .
Passo 4
Usar a propriedade de conservação de limite em funções iguais numa vizinhança (propriedade usada: se
para todos
em um intervalo puncturado em torno de
, então
)\n
- Como mostrado, para
temos
- Portanto
Passo 5
Calcular o limite da forma simplificada usando continuidade de funções polinomiais e quocientes (propriedade usada: se
e
com
, então
)\n
- Aqui
e são polinômios contínuos, então
Passo 6
Interpretação final e comentário didático rápido (propriedade usada: conceito de descontinuidade removível)\n
- O ponto
é uma descontinuidade removível da função original porque o fator anulava numerador e denominador; ao simplificar a expressão, a nova função é contínua em e seu valor em fornece o limite desejado.\n - Exemplo análogo para praticar:
. Fatorando e cancelando obtém-se .