Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos\n
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6}.\n
  • Informação explícita: o numerador é o polinômio x^{2}-9 e o denominador é o polinômio x^{2}-5x+6.\n
  • Observação importante (apenas identificação, sem resolver ainda): se substituirmos x=3 diretamente, obtemos uma forma indeterminada porque
3^{2}-9=0 \qquad\text{e}\qquad 3^{2}-5\cdot3+6=0,
ou seja, a forma é 0/0.

Passo 2

Aplicar a propriedade de continuidade de polinômios para testar substituição direta (propriedade usada: continuidade de polinômios e limite por substituição)\n
  • Teoria curta: todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}, então \displaystyle \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p e ponto a.\n
  • Tentativa: calcular separadamente
\lim_{x\to 3}(x^{2}-9)=3^{2}-9=0, \qquad \lim_{x\to 3}(x^{2}-5x+6)=3^{2}-5\cdot3+6=0.
  • Conclusão: a substituição direta dá \dfrac{0}{0}, ou seja, forma indeterminada; portanto não podemos concluir o valor do limite por simples substituição. É preciso manipular a expressão.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão (propriedade usada: fatoração de polinômios e igualdade algébrica)\n
  • Lembrando como fatorar: diferença de quadrados e fatoração de trinômio quadrático.\n
  • Fatorações:
x^{2}-9=(x-3)(x+3), \qquad x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
  • Logo a função pode ser reescrita, para x\neq 3, como
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6} =\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} =\frac{x+3}{x-2}.
  • Observação sobre a propriedade usada na simplificação: cancelou-se o fator (x-3) que é comum a numerador e denominador — essa cancelação é válida apenas para x\neq 3. Porém, duas funções que são iguais em todo ponto de uma vizinhança de 3 excluindo possivelmente 3 têm o mesmo limite quando x\to 3.

Passo 4

Usar a propriedade de conservação de limite em funções iguais numa vizinhança (propriedade usada: se f(x)=g(x) para todos x em um intervalo puncturado em torno de a, então \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x))\n
  • Como mostrado, para x\neq 3 temos
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6}=\frac{x+3}{x-2}.
  • Portanto
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-5x+6} =\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x-2}.

Passo 5

Calcular o limite da forma simplificada usando continuidade de funções polinomiais e quocientes (propriedade usada: se \lim_{x\to a}g(x)=L e \lim_{x\to a}h(x)=M com M\neq 0, então \lim_{x\to a}\dfrac{g(x)}{h(x)}=\dfrac{L}{M})\n
  • Aqui g(x)=x+3 e h(x)=x-2 são polinômios contínuos, então
\lim_{x\to 3}\frac{x+3}{x-2}=\frac{\lim_{x\to 3}(x+3)}{\lim_{x\to 3}(x-2)} =\frac{3+3}{3-2}=\frac{6}{1}=6.

Passo 6

Interpretação final e comentário didático rápido (propriedade usada: conceito de descontinuidade removível)\n
  • O ponto x=3 é uma descontinuidade removível da função original porque o fator (x-3) anulava numerador e denominador; ao simplificar a expressão, a nova função \dfrac{x+3}{x-2} é contínua em x=3 e seu valor em 3 fornece o limite desejado.\n
  • Exemplo análogo para praticar: \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}. Fatorando x^{2}-4=(x-2)(x+2) e cancelando (x-2) obtém-se \lim_{x\to 2}(x+2)=4.

Resposta

6

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