Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado.
\lim _{x \rightarrow 4}(3 x-7)=5

Passo 1

O enunciado pede: provar, usando a definição (epsilon-delta), que
\lim_{x\to 4}(3x-7)=5.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3x-7.
  • O ponto onde x tende é 4.
  • O valor proposto para o limite é 5.

Passo 2

Recordando a definição de limite (de forma didática): dizer que \lim_{x\to 4}f(x)=5 significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-4|<\delta,\text{ então }|f(x)-5|<\varepsilon.ã
Aqui:
  • \varepsilon é a precisão desejada em torno do valor limite 5 (quão perto queremos que f(x) fique de 5).
  • \delta é a tolerância que impomos na variável x em torno de 4 para garantir essa precisão.

Passo 3

Calculo explícito da diferença entre f(x) e o valor proposto do limite:
|f(x)-5| = |(3x-7)-5| = |3x-12|.
Agora fatoro:
|3x-12| = 3\,|x-4|.
Isto é simples: subtraiu-se 12 de 3x, que é 3(x-4), e o valor absoluto traz o fator 3 para fora.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-5|<\varepsilon. Usando a expressão obtida:
|f(x)-5| = 3\,|x-4| < \varepsilon.
Isso equivale a
|x-4| < \frac{\varepsilon}{3}.
Portanto, se conseguirmos forçar x a satisfazer 0<|x-4|<\dfrac{\varepsilon}{3}, então automaticamente teremos |f(x)-5|<\varepsilon.

Passo 5

Escolha de \delta: para cada \varepsilon>0 defina
\delta = \frac{\varepsilon}{3}.
Note que \delta>0 porque \varepsilon>0. Agora verifico a implicação exigida pela definição: se 0<|x-4|<\delta, então
|f(x)-5| = 3|x-4| < 3\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Logo a condição da definição é satisfeita para esta escolha de \delta.

Passo 6

Conclusão final (formalizada em termos da definição): para todo \varepsilon>0 existe \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta, tem-se |f(x)-5|<\varepsilon. Assim, pela definição epsilon-delta, \displaystyle\lim_{x\to 4}(3x-7)=5.

Resposta

\,5

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