Prove, usando a definição, que o limite de cada função a seguir é o resulatdo indicado.
Passo 1
O enunciado pede: provar, usando a definição (epsilon-delta), que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
tende é . - O valor proposto para o limite é
.
Passo 2
Recordando a definição de limite (de forma didática): dizer que
significa que
Aqui:
-
é a precisão desejada em torno do valor limite (quão perto queremos que fique de ). -
é a tolerância que impomos na variável em torno de para garantir essa precisão.
Passo 3
Calculo explícito da diferença entre
e o valor proposto do limite:
Agora fatoro:
Isto é simples: subtraiu-se
de
, que é
, e o valor absoluto traz o fator
para fora.
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a expressão obtida:
Isso equivale a
Portanto, se conseguirmos forçar
a satisfazer
, então automaticamente teremos
.
Passo 5
Escolha de
: para cada
defina
Note que
porque
. Agora verifico a implicação exigida pela definição: se
, então
Logo a condição da definição é satisfeita para esta escolha de
.
Passo 6
Conclusão final (formalizada em termos da definição): para todo
existe
tal que, sempre que
, tem-se
. Assim, pela definição epsilon-delta,
.