Determine cada um dos limites dados a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4 x}+x\right.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a -\infty da expressão
\sqrt{x^{2}+4x}+x.
Informações dadas:
  • A variável x vai para -\infty (ou seja, toma valores muito negativos).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada de um polinômio de grau 2 somada a x.
O que é pedido: calcular
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4x}+x\right).

Passo 2

Observação inicial sobre sinais e a raiz: quando aparece \sqrt{x^{2}+\cdots} é útil escrever \sqrt{x^{2}+4x} em termos de |x|. Uma identidade útil é
\sqrt{x^{2}+4x}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x}},
porque se fatorarmos x^{2} obtemos \sqrt{x^{2}\!\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}=|x|\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}.
Agora, para x\to -\infty temos |x|=-x (pois x é negativo e o módulo torna-o positivo). Portanto, para x muito negativo vale
\sqrt{x^{2}+4x}=-x\sqrt{1+\frac{4}{x}}.

Passo 3

Substituindo essa expressão na função original obtemos
\sqrt{x^{2}+4x}+x = -x\sqrt{1+\frac{4}{x}}+x = x\left(-\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1\right).
Isso é do tipo “infinito vezes algo que tende a zero” ( x\to -\infty e -\sqrt{1+4/x}+1\to 0), portanto é indeterminado direta e precisamos manipular mais para avaliar o limite. Vou escolher um método puramente algébrico (racionalização), porque evita aproximações e é rápido.

Passo 4

Racionalizar a expressão original: multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x^{2}+4x}-x (mesma ideia de eliminar a raiz no numerador):
\sqrt{x^{2}+4x}+x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}+x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+4x}-x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+4x}-x} = \frac{x^{2}+4x - x^{2}}{\sqrt{x^{2}+4x}-x} = \frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}-x}.
Agora simplificamos essa fração usando a escrita com |x|. Para x\to -\infty temos \sqrt{x^{2}+4x}=-x\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}, então
\sqrt{x^{2}+4x}-x = -x\sqrt{1+\frac{4}{x}} - x = -x\Bigl(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1\Bigr).
Substituindo isso na fração:
\frac{4x}{\sqrt{x^{2}+4x}-x} = \frac{4x}{-x\bigl(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1\bigr)} = \frac{4}{-\,\bigl(\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1\bigr)} = -\frac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1}.

Passo 5

Agora podemos passar ao limite de forma direta: quando x\to -\infty temos \dfrac{4}{x}\to 0, portanto \sqrt{1+\dfrac{4}{x}}\to 1. Assim
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+4x}+x\right) = \lim_{x\to -\infty}\left(-\frac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{x}}+1}\right) = -\frac{4}{1+1} = -\frac{4}{2} = -2.

Passo 6

Verificação rápida por expansão (checada apenas para entender a intuição): usando a expansão \sqrt{1+u}\approx 1+\dfrac{u}{2} para u pequeno, com u=\dfrac{4}{x} temos \sqrt{1+\dfrac{4}{x}}\approx 1+\dfrac{2}{x}. Então
\sqrt{x^{2}+4x}+x \approx -x\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr)+x = -2,
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

-2

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