Determine cada um dos limites dados a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2}-x\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2}-x\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, valores muito negativos).
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}+2} e uma subtração por x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento das partes para x\to -\infty.
  • Para x com grande módulo e negativo, tem-se \sqrt{x^{2}+2} grande e positivo (porque raiz é não negativa).
  • Também x\to -\infty.
    Então a expressão parece crescer sem limite, mas para ser rigoroso vamos manipular algebricamente para evitar confusões do tipo “infinito menos infinito”.

Passo 3

Uma técnica padrão para expressões com raiz é multiplicar pelo conjugado. Isso elimina a raiz no numerador e facilita o estudo do limite. Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^{2}+2}+x:
\sqrt{x^{2}+2}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}+2}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}+2}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}+2}+x} = \frac{x^{2}+2-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}+x} = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+2}+x}.

Passo 4

Agora analisamos o limite da forma equivalente
\lim_{x\to -\infty}\frac{2}{\sqrt{x^{2}+2}+x}.
Precisamos entender o sinal e o comportamento do denominador \sqrt{x^{2}+2}+x quando x é muito negativo.

Passo 5

Para x<0 vale |x|=-x. Escrevendo a raiz como \sqrt{x^{2}+2}=|x|\sqrt{1+\dfrac{2}{x^{2}}} obtemos, para x\to -\infty,
\sqrt{x^{2}+2}= -x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}.
Logo
\sqrt{x^{2}+2}+x = -x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}+x = x\bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}\bigr).
Como \sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}>1 para x\neq0, temos 1-\sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}<0. Multiplicando por x<0 resulta que \sqrt{x^{2}+2}+x>0. Além disso, para x\to -\infty temos \sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}\to1, então 1-\sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}\to0^{-}, e portanto \sqrt{x^{2}+2}+x\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos).

Passo 6

Como o denominador tende a 0^{+}, o quociente
\frac{2}{\sqrt{x^{2}+2}+x}
tende a +\infty. Podemos também ver a taxa de crescimento: usando \sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}\to1 temos
\sqrt{x^{2}+2}-x = -x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{2}{x^{2}}}+1\bigr)\sim -x\cdot 2,
ou seja, a expressão cresce como -2x quando x\to -\infty, o que confirma que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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