Determine cada um dos limites dados a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
tende a (ou seja, valores muito negativos). - A expressão envolve uma raiz quadrada
e uma subtração por .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento das partes para
.
- Para
com grande módulo e negativo, tem-se grande e positivo (porque raiz é não negativa). - Também
.
Então a expressão parece crescer sem limite, mas para ser rigoroso vamos manipular algebricamente para evitar confusões do tipo “infinito menos infinito”.
Passo 3
Uma técnica padrão para expressões com raiz é multiplicar pelo conjugado. Isso elimina a raiz no numerador e facilita o estudo do limite. Multiplicamos e dividimos por
:
Passo 4
Agora analisamos o limite da forma equivalente
Precisamos entender o sinal e o comportamento do denominador
quando
é muito negativo.
Passo 5
Para
vale
. Escrevendo a raiz como
obtemos, para
,
Logo
Como
para
, temos
. Multiplicando por
resulta que
. Além disso, para
temos
, então
, e portanto
(tende a zero por valores positivos).
Passo 6
Como o denominador tende a
, o quociente
tende a
. Podemos também ver a taxa de crescimento: usando
temos
ou seja, a expressão cresce como
quando
, o que confirma que o limite é
.