Dado a>0, definamos fa: R C por fa(x)=api(x^2+a^2).
a) Calcule F(e^-a|x|) e F(chia(x)), em que
chia(x)=l 1,|x| <= a 0,|x|>a
Sabendo que F(F(f))(x)=2 pi f(-x) e usando os resultados obtidos anteriormente, calcule F(api(x^2+a^2)) e F(sen(a x)x).
b) Use a transformada de Fourier para mostrar que
fa * fb=fa+b
(Dica: Use que a transformada de Fourier leva convolução em multiplicação)
c) Use o Teorema de Parseval (também conhecido como Plancherel) para demonstrar que
integral-infty^infty sen(a t) sen(b t)t^2 d t=pi min (a, b)

Passo 1

Vamos usar a convenção
F(f)(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
e o fato de que
F(F(f))(xi)=2pi,f(-xi)
No item (a) vamos calcular primeiro Fl(e^-a|x|r) e Fl(chia(x)r).
Em seguida, usando esses resultados e a identidade acima, obtemos Fl(fa(x)r) com fa(x)=api(x^2+a^2) e Fl(tfracsin(ax)xr).
No item (b) aplicamos o teorema da convolução e, em (c), o Teorema de Parseval.

Passo 2

Cálculo de Fl(e^-a|x|r). Como e^-a|x| é função par, o termo ímpar em sin(omega x) some e obtemos
Fl(e^-a|x|r)(omega) =2integral0^inftye^-a xcos(omega x),dx
Usando a integral conhecida
integral0^inftye^-a xcos(omega x),dx =aa^2+omega^2,
segue
Fl(e^-a|x|r)(omega) =2,aa^2+omega^2

Passo 3

Cálculo de Fl(chia(x)r) onde chia(x)=1 se |x|<= a e 0 caso contrário.
Fl(chiar)(omega) =integral-a^ae^-iomega x,dx =e^-iomega x-iomega|-a^a =e^iomega a-e^-iomega aiomega =2,sin(aomega)omega

Passo 4

Usando F(F(f))(xi)=2pi f(-xi) com f(x)=e^-a|x|, temos
Fl(2,aa^2+omega^2r)(x) =2pi,e^-a|,-x,| =2pi,e^-a|x|
Logo, escrevendo
fa(x)=api,(x^2+a^2) =12pi;2,ax^2+a^2,
pela linearidade
Fl(far)(omega) =12pi,Fl(2,ax^2+a^2r)(omega) =12pi,2pi,e^-a|omega| =e^-a|omega|

Passo 5

De modo análogo, da parte para chia temos
Fl(2,sin(a x)xr)(omega) =2pi,chia(-omega) =2pi,chia(omega) Longrightarrow Fl(sin(a x)xr)(omega) =pi,chia(omega)

Passo 6

Para (b), usamos o teorema da convolução:
F(fa*fb)(omega) =F(fa)(omega),F(fb)(omega) =e^-a|omega|,e^-b|omega| =e^-(a+b)|omega|
Mas isso é exatamente F(fa+b)(omega), pois fa+b(x)=a+bpi(x^2+(a+b)^2) também se transforma em e^-(a+b)|omega|. Como a transformada de Fourier é invertível,
fa*fb=fa+b

Passo 7

Para (c), seja
f(t)=sin(a t)t, g(t)=sin(b t)t
Pelo Teorema de Parseval (Plancherel)
integral-infty^inftyf(t),g(t),dt =12piintegral-infty^infty F(f)(omega),F(g)(omega),domega
Como F(f)(omega)=pichia(omega) e F(g)(omega)=pichib(omega), temos
integral-infty^inftysin(a t)sin(b t)t^2dt =12piintegral-infty^infty pi,chia(omega);pi,chib(omega),domega =pi^22pi integral-infty^inftychiacap b(omega),domega
A interseção chiacap b vale 1 em |omega|<=min(a,b), logo a integral é 2min(a,b). Dá
integral-infty^inftysin(a t)sin(b t)t^2dt =pi2,2min(a,b) =pi,min(a,b)

Resposta

a)
Fl(e^-a|x|r)(omega)=2aa^2+omega^2, Fl(chia(x)r)(omega)=2,sin(aomega)omega, F!l(fa(x)r)(omega)=e^-a|omega|, F!l(tfracsin(ax)xr)(omega)=pi,chia(omega)
b) fa*fb=fa+b
c) integral-infty^inftysin(a t)sin(b t)t^2dt =pi,min(a,b)

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