Sabendo que F(F(f))(x)=2 pi f(-x) e usando os resultados obtidos anteriormente, calcule F(api(x^2+a^2)) e F(sen(a x)x).
b) Use a transformada de Fourier para mostrar que
fa * fb=fa+b
(Dica: Use que a transformada de Fourier leva convolução em multiplicação)
c) Use o Teorema de Parseval (também conhecido como Plancherel) para demonstrar que
integral-infty^infty sen(a t) sen(b t)t^2 d t=pi min (a, b)
No item (a) vamos calcular primeiro Fl(e^-a|x|r) e Fl(chia(x)r).
Em seguida, usando esses resultados e a identidade acima, obtemos Fl(fa(x)r) com fa(x)=api(x^2+a^2) e Fl(tfracsin(ax)xr).
No item (b) aplicamos o teorema da convolução e, em (c), o Teorema de Parseval.
Passo 2
Cálculo de Fl(e^-a|x|r). Como e^-a|x| é função par, o termo ímpar em sin(omega x) some e obtemos
Mas isso é exatamente F(fa+b)(omega), pois fa+b(x)=a+bpi(x^2+(a+b)^2) também se transforma em e^-(a+b)|omega|. Como a transformada de Fourier é invertível,
a) Fl(e^-a|x|r)(omega)=2aa^2+omega^2, Fl(chia(x)r)(omega)=2,sin(aomega)omega, F!l(fa(x)r)(omega)=e^-a|omega|, F!l(tfracsin(ax)xr)(omega)=pi,chia(omega)
b) fa*fb=fa+b
c) integral-infty^inftysin(a t)sin(b t)t^2dt =pi,min(a,b)