Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{3 x-2}{5 x+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to4}\frac{3x-2}{5x+1}. Vamos usar as propriedades de limite de soma, constante por função e quociente, que dizem:
\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)] =\lim_{x\to a}f(x)\pm\lim_{x\to a}g(x), \quad \lim_{x\to a}[c\,f(x)] =c\lim_{x\to a}f(x),
e, se \lim_{x\to a}g(x)\neq0,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}.

Passo 2

Calcular o limite do numerador:
\lim_{x\to4}(3x-2) =\lim_{x\to4}(3x)\;-\;\lim_{x\to4}2 =3\lim_{x\to4}x-2 =3\cdot4-2 =10.

Passo 3

Calcular o limite do denominador:
\lim_{x\to4}(5x+1) =\lim_{x\to4}(5x)\;+\;\lim_{x\to4}1 =5\lim_{x\to4}x+1 =5\cdot4+1 =21.

Passo 4

Como \lim_{x\to4}(5x+1)=21\neq0, aplicamos a propriedade do quociente:
\lim_{x\to4}\frac{3x-2}{5x+1} =\frac{\lim_{x\to4}(3x-2)}{\lim_{x\to4}(5x+1)} =\frac{10}{21}

Resposta

\displaystyle \frac{10}{21}

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