Utilizando o Limite Trigonométrico Fundamental, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(3 x)}{\operatorname{sen}(2 x)}

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)}.
O conteúdo que vamos usar é o Limite Trigonométrico Fundamental, que diz: \lim_{y\to0} \frac{\sin(y)}{y} = 1 e \lim_{y\to0} \frac{\tan(y)}{y} = 1.

Passo 2

Para aproveitar esses limites, reescrevemos a fração de forma a criar fatores do tipo \frac{\tan(3x)}{3x} e \frac{\sin(2x)}{2x}:
\frac{\tan(3x)}{\sin(2x)} = \frac{\tan(3x)}{3x}\;\cdot\;\frac{3x}{2x}\;\cdot\;\frac{2x}{\sin(2x)}.

Passo 3

Agora aplique os limites conhecidos:
\lim_{x\to0} \frac{\tan(3x)}{3x} = 1, \quad \lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(2x)} = 1.
O fator \tfrac{3x}{2x} simplifica para \tfrac{3}{2} para todo x\neq0.

Passo 4

Como o limite de um produto é o produto dos limites, temos
1 \;\cdot\;\frac{3}{2}\;\cdot\;1 \;=\;\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

Exercícios relacionados