Calcule os limites a seguir,
h) lim x 2 e^(x^4-16)(x^3-8)^-1

Passo 1

No enunciado queremos calcular limxto 2 e^(x^4 -16)/(x^3 -8). Isso envolve limites de funções compostas e vamos usar a regra de L’Hôpital e a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, analisamos o expoente (x^4 -16)/(x^3 -8) substituindo x=2. Observamos que tanto o numerador 2^4 -16 = 0 quanto o denominador 2^3 -8 = 0, dando indeterminação 0/0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital calculamos as derivadas: numerador f(x)=x^4 -16 tem f'(x)=4x^3; denominador g(x)=x^3 -8 tem g'(x)=3x^2. Assim o limite do expoente vira limxto 2 4x^33x^2.

Passo 4

Simplificando a fração 4x^33x^2 = 4x3 e avaliando em x=2 obtemos 4cdot 23 = 83. Logo o expoente tende a 8/3.

Passo 5

Como a função exponencial é contínua, podemos passar o limite para dentro: limxto 2 e^(x^4 -16)/(x^3 -8) = e^limxto 2(x^4 -16)/(x^3 -8) = e^8/3.

Resposta

e^8/3

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